tag:blogger.com,1999:blog-27799740905133531112024-02-18T19:46:41.033-08:00RUMUS PELAJARANsubhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.comBlogger90125tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-75433202364081985612012-08-12T15:40:00.017-07:002012-08-12T17:53:22.527-07:00TEORI BILANGAN<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teori bilangan (<i>number theory</i>) adalah teori yang mendasar dalam memahami algoritma kriptografi</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan yang dimaksudkan adalah bilangan bulat (<i>integer</i>)<a name='more'></a></span></li>
</ul>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan Bulat </span></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02. </span></li>
</ul>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoHeading7" style="line-height: 115%; margin-top: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat </span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan <i>a</i> dan <i>b</i> adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat <i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0. Kita menyatakan bahwa <i>a</i> <b>habis</b> <b>membagi</b><i> b</i> (<i>a divides b</i>) jika terdapat bilangan bulat <i>c</i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>sedemikian sehingga <i>b </i>= <i>ac</i>. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Notasi: <i>a</i> | <i>b</i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>jika <i>b</i> = <i>ac</i>, <i>c</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Î</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <b>Z</b> dan <i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0. (<b>Z</b> = himpunan bilangan bulat)</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kadang-kadang pernyataan “<i>a</i> habis membagi<i> b</i>“ ditulis juga<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>“<i>b </i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><b>kelipatan</b> <i>a</i>”.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 1</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">: 4 | 12 karena 12<span style="mso-text-raise: -2.0pt; position: relative; top: 2.0pt;"><img height="12" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" width="12" /></span>4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">´</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3. Tetapi 4 | 13 karena 13<span style="mso-text-raise: -2.0pt; position: relative; top: 2.0pt;"><img height="12" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" width="12" /></span>4 = 3.25 (bukan bilangan bulat).</span></li>
</ul>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></b></div>
<div class="MsoHeading7" style="margin-top: 0in;">
<span style="font-size: 14.0pt; font-weight: normal; mso-bidi-font-weight: bold;">Teorema 1 (Teorema Euclidean). Misalkan <i>m</i> dan <i>n</i> adalah dua buah bilangan bulat dengan syarat <i>n</i> > 0. Jika <i>m</i> dibagi dengan <i>n</i> maka terdapat dua buah bilangan bulat unik <i>q</i> (<i>quotient</i>) dan <i>r</i> (<i>remainder</i>), sedemikian sehingga</span></div>
<div align="center" class="MsoHeading7" style="margin-top: 0in; text-align: center;">
<i><span style="font-size: 14.0pt; font-weight: normal; mso-bidi-font-weight: bold;">m</span></i><span style="font-size: 14.0pt; font-weight: normal; mso-bidi-font-weight: bold;"> = <i>nq</i> + <i>r</i></span></div>
<div align="left" class="MsoHeading7" style="margin-top: 0in; text-align: left;">
<span style="font-size: 14.0pt; font-weight: normal; mso-bidi-font-weight: bold;">dengan 0 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; font-weight: normal; mso-ascii-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-font-weight: bold; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: "Times New Roman"; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">£</span></span><span style="font-size: 14.0pt; font-weight: normal; mso-bidi-font-weight: bold;"> <i>r</i> < <i>n</i>.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 2.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(i)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>1987 dibagi dengan 97 memberikan hasil bagi 20 dan sisa 47: </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>1987 = 97 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 20 + 47</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(ii) –22 dibagi dengan 3 memberikan hasil bagi –8 dan sisa 2:<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">–22 = 3(–8) + 2<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 27.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">tetapi –22 = 3(–7)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>– 1 salah karena <i>r</i> = –1 tidak memenuhi syarat 0 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">£</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>r</i> < <i>n</i>.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: 6.0pt; margin-left: .5in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><span style="mso-tab-count: 5;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Pembagi Bersama Terbesar (PBB) </span></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan <i>a</i> dan <i>b</i> adalah dua buah bilangan bulat tidak nol. Pembagi bersama terbesar (PBB – <b>greatest common divisor</b> atau gcd) dari <i>a</i> dan <i>b</i> adalah bilangan bulat terbesar <i>d</i> sedemikian sehingga <i>d</i> | <i>a</i> dan <i>d</i> | <i>b</i>. Dalam hal ini kita nyatakan bahwa PBB(<i>a</i>, <i>b</i>) = <i>d</i>. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 3.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> Faktor pembagi 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45;<br />Faktor pembagi 36: 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36;</span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><br />Faktor pembagi bersama dari 45 dan 36 adalah 1, 3, 9</span><br /><span style="font-family: arial;">PBB(45, 36) = 9. </span></li>
</ul>
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"></span> <br />
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Algoritma Euclidean</span></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Algoritma Euclidean adalah algoritma untuk mencari PBB dari dua buah bilangan bulat. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Euclid, penemu algoritma Euclidean, adalah seorang matematikawan Yunani yang menuliskan algoritmanya tersebut dalam bukunya yang terkenal, <i>Element</i>. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Diberikan dua buah bilangan bulat tak-negatif <i>m</i> dan <i>n</i> (<i>m</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">³</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>n</i>). Algoritma Euclidean berikut mencari<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>pembagi bersama terbesar dari <i>m</i> dan <i>n</i>. </span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<h2 style="line-height: 115%; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Algoritma Euclidean</span></h2>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; text-align: justify; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">1. Jika <i style="mso-bidi-font-style: normal;">n </i>= 0 maka</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; margin-left: 28.35pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><i style="mso-bidi-font-style: normal;">m</i> adalah PBB(<i>m</i>, <i>n</i>);</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; margin-left: 28.35pt; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">stop.<i style="mso-bidi-font-style: normal;"> </i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; margin-left: 28.35pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>tetapi jika <i>n</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0, </span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; margin-left: 28.35pt; text-align: justify; text-indent: -12.45pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>lanjutkan ke langkah 2.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; margin-left: 15.9pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">2.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Bagilah <i style="mso-bidi-font-style: normal;">m</i> dengan <i style="mso-bidi-font-style: normal;">n </i>dan misalkan <i style="mso-bidi-font-style: normal;">r</i> adalah sisanya.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-align: justify; text-indent: -20.1pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">3. Ganti nilai <i style="mso-bidi-font-style: normal;">m</i> dengan nilai <i style="mso-bidi-font-style: normal;">n </i>dan nilai <i style="mso-bidi-font-style: normal;">n</i> dengan nilai <i style="mso-bidi-font-style: normal;">r</i>, lalu ulang kembali ke langkah 1.</span></div>
<br />
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Relatif Prima</span></i></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Dua buah bilangan bulat <i>a</i> dan <i>b</i> dikatakan <i>relatif prima</i> jika PBB(<i>a</i>, <i>b</i>) = 1. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 5.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 20 dan 3 relatif prima sebab PBB(20, 3) = 1. Begitu juga 7 dan 11 relatif prima karena PBB(7, 11) = 1. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab PBB(20, 5) = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Jika <i>a</i> dan <i>b</i> relatif prima, maka terdapat bilangan bulat <i>m</i> dan <i>n</i> sedemikian sehingga</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span><i>ma</i> + <i>nb </i>= 1<span style="mso-tab-count: 6;"> </span>(2)</span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 6.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena PBB(20, 3) =1, atau dapat ditulis</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span>2 . 20 + (–13) . 3 = 1 </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">dengan <i>m</i> = 2 dan <i>n</i> = –13. Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena PBB(20, 5) = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam <i>m</i> . 20 + <i>n </i>. 5 = 1.<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-tab-count: 4;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoFootnoteText" style="line-height: 115%; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Aritmetika Modulo </span></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan <i>a</i> adalah bilangan bulat dan <i>m</i> adalah bilangan bulat > 0. Operasi <i>a</i> mod <i>m</i> (dibaca “<i>a</i> modulo <i>m</i>”) memberikan sisa jika <i>a</i> dibagi dengan <i>m</i>. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Notasi: <i>a</i> mod <i>m</i> = <i>r</i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>sedemikian sehingga <i>a</i> = <i>mq</i> + <i>r</i>, dengan 0 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">£</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>r</i> < <i>m</i>.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan <i>m</i> disebut <b>modulus</b> atau <b>modulo</b>, dan hasil aritmetika modulo <i>m</i> terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …, <i>m</i> – 1} (mengapa?).<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 7.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> Beberapa hasil operasi dengan operator modulo:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 2.0in; text-indent: -1.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(i)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>23 mod 5 = 3<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(23 = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 +<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>3)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(ii)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>27 mod 3 = 0<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(27 = 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9 + 0)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(iii) 6 mod 8 = 6<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(6 = 8 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0 + 6)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(iv)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>0 mod 12 = 0<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(0 = 12 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0 + 0)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(v) – 41 mod 9 = 4<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(–41 = 9 (–5) + 4)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(vi) – 39 mod 13 = 0<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(–39 = 13(–3) + 0)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penjelasan untuk (v):</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> Karena <i>a</i> negatif, bagi |<i>a</i>| dengan <i>m</i> mendapatkan sisa <i>r</i>’. Maka <i>a</i> mod <i>m</i> = <i>m</i> – <i>r</i>’ bila <i>r</i>’ </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0. Jadi |– 41| mod 9 = 5, sehingga<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>–41 mod 9 = 9 – 5 = 4.<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-tab-count: 4;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span> <br />
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kongruen</span></i></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalnya 38 mod 5 = 3 dan 13 mod 5 = 3, maka kita katakan 38 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 13 (mod 5) (baca: 38 kongruen dengan 13 dalam modulo 5). </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan <i>a</i> dan <i>b</i> adalah bilangan bulat dan <i>m</i> adalah bilangan > 0, maka <i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>) jika <i>m</i> habis membagi <i>a</i> – <i>b</i>.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Jika <i>a</i> tidak kongruen dengan <i>b</i> dalam modulus <i>m</i>, maka ditulis <i>a </i></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">/</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>) . </span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 8.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">17 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>( 3 habis membagi 17 – 2 = 15)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>–7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 15 (mod 11)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(11 habis membagi –7 – 15 = –22)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">12 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">/ 2 (mod 7)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(7 tidak habis membagi 12 – 2 = 10 )</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">–7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">/ 15 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(3 tidak habis membagi –7 – 15 = –22)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kekongruenan <i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>) dapat pula dituliskan dalam hubungan<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: .5in;">
<i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">a</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> = <i>b</i> + <i>km</i><span style="mso-tab-count: 8;"> </span>(3)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">yang dalam hal ini <i>k</i> adalah bilangan bulat. </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 9.</span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">17 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>dapat ditulis sebagai 17 = 2 + 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">–7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 15 (mod 11) dapat ditulis sebagai –7 = 15 + (–2)11<span style="mso-tab-count: 3;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Berdasarkan definisi aritmetika modulo, kita dapat menuliskan <i>a</i> mod <i>m</i> = <i>r</i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>sebagai</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>r</i> (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 10.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Beberapa hasil operasi dengan operator modulo berikut:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 2.0in; text-indent: -2.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(i)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>23 mod 5 = 3<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>dapat ditulis sebagai 23 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 5)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: -2.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(ii)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>27 mod 3 = 0<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>dapat ditulis sebagai 27 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0 (mod 3)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: -2.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(iii) 6 mod 8 = 6<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>dapat<span style="mso-tab-count: 1;"> </span> ditulis sebagai 6 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 6 (mod 8)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: -2.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(iv)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>0 mod 12 = 0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>dapat ditulis sebagai 0 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0 (mod 12)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: -2.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(v) – 41 mod 9 = 4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>dapat ditulis sebagai –41 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 (mod 9)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: -2.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(vi) – 39 mod 13 = 0<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>dapat ditulis sebagai – 39 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0 (mod 13)<span style="mso-tab-count: 3;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background: none repeat scroll 0% 0% rgb(204, 204, 204); line-height: 115%; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teorema 2. </span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan <i>m</i> adalah bilangan bulat positif.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">1. Jika <i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>) dan <i>c</i> adalah sembarang bilangan bulat maka</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(i)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(<i>a</i> + <i>c</i>) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> (<i>b</i> + <i>c</i>) (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(ii) <i>ac</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>bc </i>(mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(iii) <i>a<sup>p</sup></i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b<sup>p</sup></i> (mod <i>m</i>) untuk suatu bilangan bulat tak negatif <i>p</i>.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">2. Jika <i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>) dan <i>c</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>d</i> (mod <i>m</i>), maka</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(i)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(<i>a</i> + <i>c</i>) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> (<i>b</i> + <i>d</i>) (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(ii) <i>ac</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>bd</i> (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -1.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bukti</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> (hanya untuk 1(ii) dan 2(i) saja):</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>1(ii)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>) berarti:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>a</i> = <i>b</i> + <i>km</i><span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>a</i> – <i>b</i> = <i>km</i></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> (<i>a</i> – <i>b</i>)<i>c</i> = <i>ckm</i><span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>ac</i> = <i>bc</i> + <i>Km<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></i><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>ac</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>bc</i> (mod <i>m</i>)<span style="mso-tab-count: 5;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "Wingdings 2"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: "Wingdings 2";"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: "Wingdings 2";"></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 4;"> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>2(i)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>a</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>a</i> = <i>b</i> + <i>k</i><sub>1</sub><i>m</i></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><i>c</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>d</i> (mod <i>m</i>)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>c</i> = <i>d</i> + <i>k</i><sub>2</sub><i>m</i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>+</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 4;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(<i>a</i> + <i>c</i>) = (<i>b</i> + <i>d</i>) + (<i>k</i><sub>1</sub> + <i>k</i><sub>2</sub>)<i>m</i></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 4;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(<i>a</i> + <i>c</i>) = (<i>b</i> + <i>d</i>) + <i>km</i> <span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>( <i>k</i> = <i>k</i><sub>1</sub> + <i>k</i><sub>2</sub>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 2.5in; mso-list: l6 level1 lfo2; tab-stops: list 2.5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;">Û<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>a</i> + <i>c</i>) = (<i>b</i> + <i>d</i>) (mod <i>m</i>)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 11.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan 17 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 (mod 3) dan 10 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 (mod 3), maka menurut Teorema 2,</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">17 + 5 = 2 + 5 (mod 3)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>22 = 7 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">17 . 5 = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>85 = 10 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">17 + 10<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>= 2 + 4 (mod 3)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>27 = 6 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">17 . 10 = 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 (mod 3)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Û</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>170 = 8 (mod 3)<span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Perhatikanlah bahwa Teorema 2 tidak memasukkan operasi pembagian pada aritmetika modulo karena jika kedua ruas dibagi dengan bilangan bulat, maka kekongruenan tidak selalu dipenuhi. Misalnya:</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 1.0in; mso-list: l17 level1 lfo13; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: Arial;"><span style="mso-list: Ignore;">(i)<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">10 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 (mod 3) dapat dibagi dengan 2 karena 10/2 = 5 dan 4/2 = 2, dan 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 (mod 3)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 1.0in; mso-list: l17 level1 lfo13; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: Arial;"><span style="mso-list: Ignore;">(ii)<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">14 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 8 (mod 6) tidak dapat dibagi dengan 2, karena 14/2 = 7 dan 8/2 = 4, tetapi<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">/ 4 (mod 6).<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Balikan Modulo (modulo invers)</span></i></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Jika <i>a</i> dan <i>m</i> relatif prima dan <i>m</i> > 1, maka kita dapat menemukan balikan (<i>invers</i>) dari <i>a</i> modulo <i>m</i>. Balikan dari <i>a</i> modulo <i>m</i> adalah bilangan bulat <span style="mso-text-raise: -3.0pt; position: relative; top: 3.0pt;"><img height="27" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif" width="16" /></span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>sedemikian sehingga </span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><i>a</i><span style="font-family: courier new; position: relative; top: 3pt;"><img height="27" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.gif" width="16" /></span><span style="font-family: courier new;"> </span></span><span style="font-family: courier new; font-size: 14pt; line-height: 115%;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bukti: Dari definisi relatif prima diketahui bahwa PBB(<i>a</i>, <i>m</i>) = 1, dan menurut persamaan (2) terdapat bilangan bulat <i>p</i> dan <i>q</i> sedemikian sehingga:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><i>pa</i> + <i>qm</i> = 1</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">yang mengimplikasikan bahwa</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>pa</i> + <i>qm</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Karena<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><i>qm</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 0 (mod <i>m</i>), maka</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: .5in;">
<i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">pa</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod <i>m</i>)<span style="mso-tab-count: 3;"> </span> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kekongruenan yang terakhir ini berarti bahwa <i>p</i> adalah balikan dari <i>a</i> modulo <i>m</i>. <span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14pt; line-height: 115%;">Pembuktian di atas juga menceritakan bahwa untuk mencari balikan dari <i>a</i> modulo <i>m</i>, kita harus membuat kombinasi lanjar dari <i>a</i> dan <i>m</i> sama dengan 1. Koefisien <i>a</i> dari kombinasi lanjar tersebut merupakan balikan dari <i>a</i> modulo <i>m</i>.</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14pt; line-height: 115%;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 12.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan balikan dari 4 (mod 9), 17 (mod 7), dan 18 (mod 10).</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 27.0pt; text-indent: -27.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(a)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Karena PBB(4, 9) = 1, maka balikan dari 4 (mod 9) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh bahwa </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">9 = 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 + 1 </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Susun persamaan di atas<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>menjadi</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span>–2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 + 1 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9 = 1<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 27.0pt; text-indent: -27.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Dari persamaan terakhir ini kita peroleh –2 adalah balikan dari 4 modulo 9. Periksalah bahwa </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">–2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 9)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(9 habis membagi –2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 – 1 = –9)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; tab-stops: .5in 1.0in 183.4pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(b) Karena PBB(17, 7) = 1, maka balikan dari 17 (mod 7) ada. Dari algoritma Euclidean diperoleh<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>rangkaian pembagian berikut:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>17 = 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 + 3<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(i)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>7 =<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 + 1<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(ii)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>3 = 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 + 0<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(iii)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(yang berarti: PBB(17, 7) = 1) )</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Susun (ii) menjadi:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>1 = 7 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(iv)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Susun (i) menjadi</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>3 = 17 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(v)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Sulihkan (v) ke dalam (iv):</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>1 = 7 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> (17 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7) = 1 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 17 + 4 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 17</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>atau<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>–2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 17 <sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></sub>+ 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 = 1</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Dari persamaan terakhir ini kita peroleh –2 adalah balikan dari 17 modulo 7.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">–2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 17 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 7)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(7 habis membagi –2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 17 – 1 = –35)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(c)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Karena PBB(18, 10) = 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1, maka balikan dari 18 (mod 10) tidak ada.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<b><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></i></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<b><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">K Kekongruenan Lanjar</span></i></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kekongruenan lanjar adalah kongruen yang berbentuk</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><i>ax</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>b</i> (mod <i>m</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">dengan <i>m</i> adalah bilangan bulat positif, <i>a</i> dan <i>b</i> sembarang bilangan bulat,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>dan <i>x</i> adalah peubah bilangan bulat.</span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Nilai-nilai <i>x</i> dicari sebagai berikut:</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><i>ax</i> = <i>b</i> + <i>km</i></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin: 6pt 0in 0.0001pt; text-align: left;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14pt; line-height: 115%;"> yang dapat disusun menjadi:<span style="mso-text-raise: -15.0pt; position: relative; top: 15.0pt;">x = b+km / a</span></span></div>
<br />
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">dengan <i>k</i> adalah sembarang bilangan bulat. Cobakan untuk <i>k</i> = 0, 1, 2, … dan <i>k</i> = –1, –2, … yang menghasilkan <i>x</i> sebagai bilangan bulat.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 13.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan solusi: 4<i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 9) dan 2<i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 4)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(i) 4<i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 9)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-text-raise: -15.0pt; position: relative; top: 15.0pt;"><img height="53" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image011.gif" width="105" /></span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">k</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> = 0 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 + 0 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = 3/4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(bukan solusi)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = 1 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 + 1 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = 3</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = 2 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 + 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = 21/4 <span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(bukan solusi)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = 3, <i>k</i> = 4<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>tidak menghasilkan solusi</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k </i>= 5 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 + 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = 12<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>…</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = –1 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 – 1 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = –6/4 <span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(bukan solusi)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = –2 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 – 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = –15/4<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(bukan solusi)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = –3 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 – 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = –6<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>…</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>k</i> = –6 </span><span style="font-family: Wingdings; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Wingdings;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Wingdings;">à</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>x</i> = (3 – 6 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9)/4 = –15<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>…</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>Nilai-nilai <i>x</i> yang memenuhi: 3, 12, … dan –6, –15, …</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(ii)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>2<i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 4)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-text-raise: -15.0pt; position: relative; top: 15.0pt;"><img height="53" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image013.gif" width="104" /></span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Karena 4<i>k</i> genap dan 3 ganjil maka penjumlahannya menghasilkan ganjil, sehingga hasil penjumlahan tersebut jika dibagi dengan 2 tidak menghasilkan bilangan bulat. Dengan kata lain, tidak ada nilai-nilai <i>x</i><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>yang memenuhi 2<i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 5).</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Chinese Remainder Problem</span></i></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in;">
<i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11 menyisakan 7.</span></i></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Pertanyaan Sun Tse dapat dirumuskan kedalam sistem kongruen lanjar:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 5)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 5 (mod 7)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 (mod 11)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; text-align: justify;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">TEOREMA 5.6. (<i>Chinese Remainder Theorem</i>) </span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalkan <i>m</i><sub>1</sub>, <i>m</i><sub>2</sub>, …, <i>m<sub>n</sub></i> adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga PBB(<i>m<sub>i</sub></i>, <i>m<sub>j</sub></i>) = 1 untuk <i>i</i> </span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">¹</span></span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>j</i>. Maka sistem kongruen lanjar</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span><i>x</i> </span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>a<sub>k</sub></i> (mod <i>m<sub>k</sub></i>)</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">mempunyai sebuah solusi unik modulo <i>m</i> = <i>m</i><sub>1</sub> </span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>m</i><sub>2</sub> </span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> … </span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>m<sub>n</sub></i>.</span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 14.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan solusi<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>dari pertanyaan Sun Tse di atas.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Menurut persamaan (5.6), kongruen pertama, <i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 (mod 5), memberikan <i>x</i> = 3 + 5<i>k</i><sub>1</sub> untuk beberapa nilai <i>k</i>. Sulihkan ini ke dalam kongruen kedua menjadi 3 + 5<i>k</i><sub>1</sub> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 5 (mod 7), dari sini kita peroleh <i>k</i><sub>1</sub> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 6 (mod 7), atau <i>k</i><sub>1</sub> = 6 + 7<i>k</i><sub>2</sub><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>untuk beberapa nilai <i>k</i><sub>2</sub>. Jadi kita mendapatkan <i>x</i> = 3 + 5<i>k</i><sub>1</sub> = 3 + 5(6 + 7<i>k</i><sub>2</sub>) = 33 + 35<i>k</i><sub>2</sub> yang mana memenuhi dua kongruen pertama.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Jika <i>x</i> memenuhi kongruen yang ketiga, kita harus mempunyai 33 + 35k<sub>2</sub> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 (mod 11), yang mengakibatkan <i>k</i><sub>2</sub> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 9 (mod 11) atau <i>k</i><sub>2</sub> = 9 + 11<i>k</i><sub>3</sub>. Sulihkan <i>k</i><sub>2</sub> ini ke dalam kongruen yang ketiga menghasilkan <i>x</i> = 33 + 35(9 + 11<i>k</i><sub>3</sub>) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 348 + 385<i>k</i><sub>3</sub> (mod 11). Dengan demikian, <i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 348 (mod 385) yang memenuhi ketiga konruen tersebut. Dengan kata lain, 348 adalah solusi unik modulo 385. Catatlah bahwa 385 = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 11.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Solusi tersebut modulo <i>m</i> = <i>m</i><sub>1</sub> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>m</i><sub>2</sub> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> <i>m</i><sub>3</sub> = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 11 = 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 77 = 11 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 35. Karena 77<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 5), 55 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 6 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 7), dan 35 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 6 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 11), solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><i>x</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 77 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 + 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 55 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 6<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>+ 7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 35 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 6 (mod 385)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3813 (mod 385) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 348 (mod 385)</span></div>
<div align="right" class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-align: right;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Aritmetika Modulo dan Kriptografi</span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Aritmetika modulo cocok digunakan untuk kriptografi karena dua alasan:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .75in; mso-list: l17 level2 lfo13; text-indent: -27.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: Arial;"><span style="mso-list: Ignore;">1.<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Oleh karena nilai-nilai aritmetika modulo berada dalam himpunan berhingga (0 sampai modulus <i>m</i> – 1), maka kita tidak perlu khawatir hasil perhitungan berada di luar himpunan.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .75in; mso-list: l17 level2 lfo13; tab-stops: list .75in; text-indent: -27.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: Arial;"><span style="mso-list: Ignore;">2.<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Karena kita bekerja dengan bilangan bulat, maka kita tidak khawatir kehilangan informasi akibat pembulatan (<i>round off</i>) sebagaimana pada operasi bilangan riil.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 1.0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan Prima</span></b></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan bulat positif <i>p</i> (<i>p</i> > 1) disebut bilangan prima jika pembaginya hanya 1 dan <i>p</i>.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh: 23 adalah bilangan prima karena ia hanya habis dibagi oleh 1 dan 23. </span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Karena bilangan prima harus lebih besar dari 1, maka barisan bilangan prima dimulai dari 2, yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, …. Seluruh bilangan prima adalah bilangan ganjil, kecuali 2 yang merupakan bilangan genap.</span></li>
</ul>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan selain prima disebut bilangan <b>komposit</b> (<i>composite</i>). Misalnya 20 adalah bilangan komposit karena 20 dapat dibagi oleh 2, 4, 5, dan 10, selain 1 dan 20 sendiri.</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in; tab-stops: 268.3pt;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teorema 3. (<i>The Fundamental Theorem of Arithmetic</i>). </span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar atau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 15.</span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>9 = 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">´</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3<span style="mso-tab-count: 4;"> </span>(2 buah faktor prima)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>100 = 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">´</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">´</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 5 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">´</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 5<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(4 buah faktor prima)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>13 = 13<span style="mso-tab-count: 1;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(atau 1 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">´</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 13)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span>(1 buah faktor prima)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Untuk menguji apakah <i>n</i> merupakan bilangan prima atau komposit, kita cukup membagi <i>n</i> dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3, … , bilangan prima </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">£</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Ö</span></span><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">n</span></i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">. Jika <i>n</i> habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka <i>n</i> adalah bilangan komposit, tetapi jika <i>n</i> tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima.</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 16.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tunjukkan apakah (i) 171 dan (ii) 199 merupakan bilangan prima atau komposit.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></i></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .75in; text-indent: -.75in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(i) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Ö</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">171 = 13.077. Bilangan prima yang </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">£</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Ö</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">171 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 171 habis dibagi 3, maka 171 adalah bilangan komposit.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .75in; text-indent: -27.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(ii) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Ö</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">199 = 14.107. Bilangan prima yang </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">£</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">Ö</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">199 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13. Karena 199 tidak habis dibagi 2, 3, 5, 7, 11, dan 13, maka 199 adalah bilangan prima.<span style="mso-tab-count: 3;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Terdapat metode lain yang dapat digunakan untuk menguji keprimaan suatu bilangan bulat, yang terkenal dengan <b>Teorema Fermat</b>. Fermat (dibaca “Fair-ma”) adalah seorang<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>matematikawan Perancis pada tahun 1640. </span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teorema 4</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> (<b>Teorema Fermat</b>). Jika <i>p</i> adalah bilangan prima dan <i>a</i> adalah bilangan bulat<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>yang tidak habis dibagi dengan <i>p</i>,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>yaitu PBB(<i>a</i>, <i>p</i>) = 1, maka</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 2;"> </span><i>a<sup>p</sup></i><sup>–1</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod <i>p</i>)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 17.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kita akan menguji apakah 17 dan 21 bilangan prima atau bukan. Di sini kita mengambil nilai <i>a</i> = 2 karena PBB(17, 2) = 1 dan PBB(21, 2) = 1. Untuk 17, <span style="mso-tab-count: 2;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span>2<sup>17–1</sup> = 65536 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 17)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">karena 17 tidak membagi 65536 – 1 = 65535<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(65535<span style="mso-text-raise: -2.0pt; position: relative; top: 2.0pt;"><img height="12" src="file:///C:/Users/AXIOO/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" width="12" /></span>17 = 3855). </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Untuk 21,</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span>2<sup>21–1</sup> =1048576 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">\ 1 (mod 21)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">karena 21 tidak habis membagi 1048576 – 1 = 1048575.<span style="mso-tab-count: 5;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; mso-list: l13 level1 lfo26; tab-stops: list .5in; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;">·<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Kelemahan Teorema Fermat: terdapat bilangan komposit <i>n</i> sedemikian sehingga 2<i><sup>n</sup></i><sup>–1</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod <i>n</i>). Bilangan bulat seperti itu disebut bilangan <b>prima semu</b> (<i>pseudoprimes</i>). </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; mso-list: l13 level1 lfo26; tab-stops: list .5in; text-indent: -.25in;">
<span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;">·<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Misalnya komposit 341 (yaitu 341 = 11 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 31) adalah bilangan prima semu karena menurut teorema Fermat, </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 3;"> </span>2<sup>340</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 341)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Untunglah bilangan prima semu relatif jarang terdapat. </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 18. </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Periksalah bahwa (i) 3<sup>16</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 17) dan (ii) 18<sup>6</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 49).</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; mso-list: l24 level1 lfo17; tab-stops: list .25in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: Arial;"><span style="mso-list: Ignore;">(i)<span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"> </span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Dengan mengetahui bahwa kongruen 3<sup>3</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 10 (mod 17), kuadratkan kongruen tersebut menghasilkan</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>3<sup>6</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 100 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> –2<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>(mod 17)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Kuadratkan lagi untuk menghasilkan</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>3<sup>12</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 (mod 17)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Dengan demikian, 3<sup>16</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3<sup>12</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3<sup>3</sup><span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 4 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 10 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 120 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 17)<span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(ii)<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Caranya sama seperti penyelesaian (i) di atas:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>18<sup>2</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 324 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 30 (mod 49)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>18<sup>4</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 900 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 18 (mod 49)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span>18<sup>6</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 18<sup>4</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 18<sup>2</sup> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 18 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 30 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 540 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod 49)</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: .5in; text-indent: -.5in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Fungsi Euler </span></b><b><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span></b><b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"></span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Fungsi Euler </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> medefinisikan </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>n</i>) untuk <i>n</i> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">³</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 yang menyatakan jumlah bilangan bulat positif < <i>n</i> yang relatif prima dengan <i>n</i>.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 19.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(20). </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 20 adalah 1 sampai 19. Di antara bilangan-bilangan tersebut, terdapat </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(20) = 8 buah yang relatif prima dengan 20, yaitu 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Untuk <i>n</i> = 1, 2, …, 10, fungsi Euler adalah</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(1) = 0<span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(6) = 2</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(2) = 1<span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(7) = 6</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(3) = 2<span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(8) = 4</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(4) = 2<span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(9) = 6</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(5) = 4<span style="mso-tab-count: 3;"> </span></span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(10) = 4</span></div>
<ul>
<li><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-bidi-font-family: Symbol; mso-fareast-font-family: Symbol;"><span style="mso-list: Ignore;"><span style="font: 7.0pt "Times New Roman";"></span></span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Jika <i>n</i> prima, maka setiap bilangan bulat yang lebih kecil dari <i>n</i> relatif prima terhadap <i>n</i>. Dengan kata lain, </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>n</i>) = <i>n</i> – 1 hanya jika <i>n</i> prima.</span></li>
</ul>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 20.</span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(3) = 2, </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(5) = 4, </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(7) = 6, </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(11) = 10, </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(13) = 12, …</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teorema 5</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">. Jika <i>n</i> = <i>pq</i> adalah bilangan komposit dengan <i>p</i> dan <i>q</i> prima, maka </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>n</i>) = </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>p</i>) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>q</i>) = (<i>p</i> – 1)(<i>q</i> – 1).</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 21.</span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(21). </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Karena 21 = 7 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 3, </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(21) = </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(7) </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(3) = 6 </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">×</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 2 = 12 buah bilangan bulat yang relatif prima terhadap 21, yaitu 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20.</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teorema 6.</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> Jika <i>p</i> bilangan prima dan <i>k</i> > 0, maka </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>p<sup>k</sup></i>) = <i>p<sup>k</sup></i> – <i>p<sup>k</sup></i><sup>-1</sup> = <i>p<sup>k</sup></i><sup>-1</sup>(<i>p</i> – 1) .</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Contoh 22. </span></b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Tentukan </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(16). </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Penyelesaian</span></u><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">:</span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Karena </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(16) = </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(2<sup>4</sup>) = 2<sup>4</sup> – 2<sup>3</sup> = 16 – 8 = 8, maka ada delapan buah bilangan bulat yang relatif prima terhadap 16, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-left: 0in;">
<b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">Teorema 7 (<i>Euler’s generalization of Fermat theorem</i>).</span></b><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> Jika PBB(<i>a</i>, <i>n</i>) = 1, maka </span></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="background: #CCCCCC; line-height: 115%; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0in; margin-left: 0in; margin-right: 0in; margin-top: 6.0pt;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"><span style="mso-tab-count: 1;"> </span><i>a</i></span><sup><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span></sup><sup><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>n</i>)</span></sup><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> mod <i>n</i> = 1<span style="mso-tab-count: 2;"> </span>(atau <i>a</i></span><sup><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">f</span></span></sup><sup><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;">(<i>n</i>)</span></sup><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> </span><span style="font-family: Symbol; font-size: 14.0pt; line-height: 115%; mso-ascii-font-family: Arial; mso-bidi-font-family: Arial; mso-char-type: symbol; mso-hansi-font-family: Arial; mso-symbol-font-family: Symbol;"><span style="mso-char-type: symbol; mso-symbol-font-family: Symbol;">º</span></span><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 14.0pt; line-height: 115%;"> 1 (mod <i>n</i>) )</span></div>
subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-35210976557779085452012-02-26T00:14:00.005-08:002012-06-27T21:16:17.201-07:00BARISAN DAN DERET GEOMETRI {UKUR/KALI}<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><br />
<ol>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b>BARISAN GEOMETRI</b><br />U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub>, U<sub>3</sub>, ......., U<sub>n-1</sub>, U<sub>n</sub> disebut barisan geometri, jika<br /><br />U<sub>1</sub>/U<sub>2</sub> = U<sub>3</sub>/U<sub>2</sub> = .... = U<sub>n</sub> / U<sub>n-1</sub> = <b><i>konstanta</i></b><br /><br /><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Konstanta ini disebut <i><b>pembanding / rasio (r)</b></i><b>Rasio r = U<sub>n</sub> / U<sub>n-1</sub></b><br />Suku ke-n barisan geometri<br /><br />a, ar, ar² , .......ar<sup><sup>n-1</sup></sup><br />U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub>, U<sub>3</sub>,......,U<sub>n</sub><br /><br /><b>Suku ke n U<sub>n</sub> = ar<sup><sup>n-1</sup></sup> </b></span><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">®</span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> <i>fungsi eksponen (dalam n)<a name='more'></a></i></span></b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">DERET GEOMETRI</span></b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">a + ar² + ....... + ar<sup>n-1</sup></span><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span></span><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">disebut deret geometri</span></span><br /><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">a = suku awal<br />r = rasio<br />n = banyak suku</span></span><br /><br /><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Jumlah n suku<br /><br /><b>Sn = a(r<sup><sup>n</sup></sup>-1)/r-1 , jika r>1<br /> = a(1-r<sup><sup>n</sup></sup>)/1-r , jika r<1</b></span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b> <span style="font-family: symbol;">®</span> <i>Fungsi</i></b></span><span style="font-size: x-small;"><b><i><span style="font-family: 'Bookman Old Style';"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;"> eksponen (dalam n)</span></span></i></b></span><b><i><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><br /></span></i></b><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><br /></span><i><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Keterangan:</span></i><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /><br /><ol type="a">
<li>Rasio antara dua suku yang berurutan adalah <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>tetap</b></i></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Barisan geometri akan </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>naik</i></b>, jika untuk setiap n berlaku </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /><b><i>U<sub>n </sub>> U<sub>n-1</sub></i></b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Barisan geometri akan </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>turun</b></i>, jika untuk setiap n berlaku<br /><i><b>U<sub>n</sub> < U<sub>n-1</sub></b></i><br />Bergantian </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>naik turun</b></i>, </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">jika <i><b>r < 0</b></i></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Berlaku hubungan <b>U<sub>n</sub> = S<sub>n</sub> - S<sub>n-1</sub></b></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Jika banyaknya suku ganjil, maka </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>suku tengah</i></b><br /> <b> _______ __________<br />Ut = </b></span><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">Ö</span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> U<sub>1</sub>xU<sub>n</sub> = </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">Ö </span>U<sub>2</sub> X U<sub>n-1</sub> </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> dst. </span></b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah <b>a/r, a, ar</b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
</ol>
</span></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b>DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA</b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Deret Geometri tak berhingga adalah </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>penjumlahan</b></i> </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">dari<br /><br /><b>U<sub>1</sub> + U<sub>2</sub> + U<sub>3</sub> + ..............................</b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;"><br /><b>¥<br />å</b></span></span><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> Un = a + ar + ar² .........................<br /><span style="font-size: xx-small;">n=1</span> </span></b><br /><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">dimana <b>n </b></span><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">® ¥</span></span></b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> dan <b>-1 < r < 1</b> sehingga <b>r<sup>n</sup> </b></span><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">®</span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> 0</span></b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>Jumlah tak berhingga</b></i><b> S</b></span><b><span style="font-family: Symbol; font-size: x-small;"><sub><sub>¥</sub></sub></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> = a/(1-r)</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Deret geometri tak berhingga akan </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>konvergen</i></b> </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">(mempunyai jumlah) untuk <b>-1 < r < 1</b><br /><i><br />Catatan:</i><br /><br /><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">a + ar + ar<sup>2 </sup>+ ar<sup>3 </sup>+ </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">ar<sup>4 </sup>+ </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">.......</span>..........</span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil</i></b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br />a+ar<sup>2 </sup>+ar<sup>4</sup>+ </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">....... <b>S<sub>ganjil</sub> = a / (1-r²)</b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>Jumlah suku-suku pada kedudukan genap</b></i><br />a + ar<sup>3</sup> + ar<sup>5</sup> + ...... <b>S<sub>genap</sub> = ar / 1 -r² </b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Didapat hubungan</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> : <b>S<sub>genap</sub> / S<sub>ganjil</sub> = r</b></span><span style="font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><br /></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span></span></li>
</ol>
<br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><b>PENGGUNAAN</b></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Perhitungan <b>BUNGA TUNGGAL</b> (Bunga dihitung <b><i>berdasarkan modal awal</i></b>)</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>0</sub>, M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, ............., M<sub>n</sub></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>1</sub> = M<sub>0</sub> + P/100 (1) M<sub>0</sub> = {1+P/100(1)}M<sub>0</sub></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>2</sub> = M<sub>0</sub> + P/100 (2) M<sub>0</sub> = {1+P/100(2)} M<sub>0</sub></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">.<br />.<br />.<br />.</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>n</sub> =M<sub>0</sub> + P/100 (n) M<sub>0</sub> </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">®<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;"> M<sub><sup>n</sup></sub></span></span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;"> = {1 + P/100 (n) } M<sub>0</sub></span></span></span></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Perhitungan <b>BUNGA MAJEMUK</b> (Bunga dihitung <b><i>berdasarkan modal terakhir</i></b>)</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>0</sub>, M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, .........., M<sub>n</sub></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>1</sub> = M<sub>0</sub> + P/100 . M<sub>0</sub> = (1 + P/100) M<sub>0</sub></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>2</sub> = (1+P/100) M<sub>0</sub> + P/100 (1 + P/100) M<sub>0</sub> = (1 + P/100)(1+P/100)M<sub>0</sub> </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"> = (1 + P/100)² M<sub>0</sub></span></span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">.<br />.<br />.</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Mn = {1 + P/100}<sup>n</sup> M<sub>0</sub></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i>Keterangan :</i></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>0</sub> </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">= Modal </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">awal</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">M<sub>n</sub> = Modal setelah n periode</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">p = Persen per periode atau suku bunga</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">n = Banyaknya periode</span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i>Catatan:</i></span></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).</span></span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-68489255098561500312012-02-26T00:11:00.000-08:002012-02-26T00:11:02.385-08:00BARISAN DAN DERET ARITMATIKA<br />
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">BARISAN adalah </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu. </i><br />Suku-suku </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">suatu barisan adalah </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli</i> </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(n = natural = asli)</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>Contoh</i></span><i><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: small;">:</span></i><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span></span><br />
<span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span></span><br />
<span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><ol>
<li>Un = 2n - 1<br />adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n <span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Symbol; font-size: x-small;">Î</span></span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"> </span><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">N = {1,2,3,.....}</span></span><br /><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....</span><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"></span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><br /></span><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></span></li>
<li><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9</span></span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br />Rumus suku ke-n barisan ini adalah U<sub>n</sub> = 1/3n</span></li>
</ol>
<div>
<a name='more'></a></div>
<div>
<ol type="A">
<li><b>BARISAN ARITMATIKA</b><br /><br />U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub>, U<sub>3</sub>, .......U<sub>n-1</sub>, U<sub>n</sub> disebut barisan aritmatika, jika<br />U<sub>2 </sub>- U<sub>1</sub> = U<sub>3 </sub>- U<sub>2</sub> = .... = U<sub>n</sub> - U<sub>n-1</sub> = <i><b>konstanta</b></i><br /><br />Selisih ini disebut juga <b>beda (b) = b =U<sub>n</sub> - U<sub>n-1</sub></b><sub> </sub><br /><br />Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b<br /> <span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;">U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub>, U<sub>3</sub> ............., U<sub>n</sub><br /><br />Rumus </span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;">Suku ke-n</span></span> <span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;">:<br /><br /><b>U<sub>n</sub> = a + (n-1)b = bn + (a-b) </b></span></span><b><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="font-family: Symbol;">®</span></span></span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;"> <i>Fu</i></span></span></b><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;"><b><i>ngsi linier dalam n</i></b></span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b>DERET ARITMATIKA</b><br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.<br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">a = suku awal<br />b = beda<br />n = banyak suku<br />U<sub>n</sub> = a + (n - 1) b adalah suku ke-n<br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Jumlah n suku</span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><br /></span><span style="font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /><b>Sn = 1/2 n(a+U<sub>n</sub>)<br /> = 1/2 n[2a+(n-1)b]<br /> = 1/2bn² + (a - 1/2b)n <span style="font-family: Symbol;">®</span> Fungsi kuadrat (dalam n)</b></span></span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: small;"><br /></span><i><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Keterangan:</span></i><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /><ol>
<li>Beda <span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">antara dua suku yang berurutan adalah </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>tetap</i></b> (<b>b = S<sub>n</sub>"</b>)<br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Barisan aritmatika akan </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>naik</i></b> </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">jika </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>b > 0</b></i><br />Barisan aritmatika akan <b><i>turun</i></b> jika </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>b < 0</i></b></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Berlaku hubungan <b>U<sub>n</sub> = S<sub>n</sub> - S<sub>n-1</sub></b> atau <b>Un = S<sub>n'</sub> - 1/2 S<sub>n</sub>"</b></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Jika banyaknya suku ganjil, maka </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>suku tengah</b></i><br /><br />U<sub>t</sub> = 1/2 (U<sub>1</sub> + U<sub>n</sub>) = 1/2 (U<sub>2</sub> + U<sub>n-1</sub>) dst.<br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b>S<sub>n</sub> = 1/2 n(a+ U<sub>n</sub>) = nU<sub>t</sub> </b></span><b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Symbol;">® </span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">U<sub>t</sub> = Sn / n</span></b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">misalkan bilangan-bilangan itu adalah <b><i>a - b , a , a + b</i></b></span></li>
</ol>
<div>
<b><i><br /></i></b></div>
<div>
<b><i><br /></i></b></div>
</span></li>
</ol>
</div>
</span></span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-51212675513016575952012-02-25T23:57:00.000-08:002012-02-25T23:57:35.058-08:00GEOMETRI TRANSFORMASI<span class="Apple-style-span" style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.</i></b></span><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span></b><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><ol>
<li><b>TRANSLASI (Pergeseran sejajar)<br /></b><table border="1"><tbody>
<tr bgcolor="#CCCCCC"><td bgcolor="#FFFFFF" width="17%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Matriks</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" width="33%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" width="50%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan</span></b></div>
</td></tr>
<tr><td height="55" width="17%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">a <span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span> b<img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="3" /><span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td height="55" width="33%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">®</span> (x+a, y+b)</span></div>
</td><td height="55" width="50%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0 <span style="font-family: Symbol;">®</span> (x-a, y-b) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td colspan="3" height="79"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Ket :<br />x' = x + a <span style="font-family: Symbol;">®</span> x = x' - a<br />y' = y + b <span style="font-family: Symbol;">®</span> y = y' -b</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>Sifat:</i></span><br />
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><ul>
<li>Dua buah translasi berturut-turut <span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> a <span style="font-family: symbol;">ù</span> </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">diteruskan dengan </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;"><img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="3" /> ë</span> b <span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">dapat </span></span></span></span></span>digantikan dengan </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> c <span style="font-family: symbol;">ù</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> translasi</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> tunggal </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é <span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;">a + </span></span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">c <span style="font-family: symbol;"><img height="2" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="2" />ù</span><br /><span style="color: black;"> </span><span style="color: black;"> <img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="3" /></span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;">ë</span> d <span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black;"> <img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="4" /></span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;">ë</span> b + d <span style="font-family: symbol;">û</span></span></span><span style="color: black;"> </span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.</span><br /><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><a name='more'></a><br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span></li>
</ul>
</span></li>
<li><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)</span></b><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"></span></b><br />
<table border="1"><tbody>
<tr bgcolor="#CCCCCC"><td bgcolor="#FFFFFF" height="56" width="26%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Pencerminan terhadap</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" height="56" width="15%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Matriks</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" height="56" width="32%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan Titik</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" height="56" width="27%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan fungsi</span></b></div>
</td></tr>
<tr><td width="26%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">sumbu-x</span></b></div>
</td><td align="left" valign="top" width="15%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span> <span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">1 <span style="color: white;">-</span>0 <span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span> 0 -1 <span style="font-family: symbol;"><img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="1" />û</span></span></div>
</td><td width="32%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">® </span>(x,-y)</span></div>
</td><td width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0 <span style="font-family: Symbol;">®</span>F(x,-y) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td width="26%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">sumbu -y</span></b></div>
</td><td width="15%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> -1 0 <span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span> <span style="color: white;">-</span>0 1 <span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td width="32%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">® </span>(-x,y)</span></div>
</td><td width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0<span style="font-family: Symbol;"> ®</span>F(-x,y) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td height="33" width="26%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">garis y = x</span></b></div>
</td><td height="33" width="15%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span> <span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">0</span> <span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">1 <span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span> 1 0 <span style="font-family: symbol;"><img height="2" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="2" />û</span></span></div>
</td><td height="33" width="32%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">®</span> (y,x)</span></div>
</td><td height="33" width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0 <span style="font-family: Symbol;">®</span>F(y,x) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td width="26%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">garis y = -x</span></b></div>
</td><td valign="top" width="15%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> <span style="color: white;">-</span>0 <span style="color: white;">-</span>1<span style="font-family: symbol;"> ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë -</span>1 -0 <span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td width="32%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">® </span>(-y,-x)</span></div>
</td><td width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0 <span style="font-family: Symbol;">®</span>F(-y,-x)= 0</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>determinannya = -1</b></i><br /><br /><br /><b><i>SIFAT-SIFAT</i></b><i><br /></i></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><ol type="a">
<li>Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu <span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>identitas</b></i>, </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">artinya yang direfleksikan tidak berpindah. </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Pengerjaan dua refleksi terhadap </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i><b>dua sumbu yang sejajar</b></i>, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:<br /><ul>
<li>Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.</li>
<li>Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat <span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">tidak komutatip.</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
</ul>
</span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Pengerjaaan dua refleksi terhadap </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">dua sumbu yang saling tegak lurus, </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">menghasilkaan rotasi (pemutaran) </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">komutatif.</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">dua sumbu yang berpotongan </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:<br /><ul>
<li>Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.</li>
<li>Besar sudut perputaran sama dengan <span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.</span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. </span><span style="color: black; font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><br /></span><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;"></span></span></span></li>
</ul>
</span></li>
</ol>
</span></li>
<li><b><span style="color: black; font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="color: black; font-family: 'Times Roman'; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;">ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)</span></span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></span></b><b><span style="color: black; font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></span></b><table border="1"><tbody>
<tr bgcolor="#CCCCCC"><td bgcolor="#FFFFFF" height="33" width="13%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">rotasi</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" height="33" width="23%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">matriks</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" height="33" width="27%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">perubahan titik</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" height="33" width="37%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">perubahan fungsi</span></b></div>
</td></tr>
<tr><td width="13%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">½ <span style="font-family: Symbol;">p</span></span></b></div>
</td><td width="23%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">0 -1<span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span>1 <span style="color: white;">-</span>0 <span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y)<span style="font-family: Symbol;"> ® </span>(-y,x)</span></div>
</td><td width="37%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0<span style="font-family: Symbol;"> ® </span>F(y,-x) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td width="13%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Symbol; font-size: x-small;">p</span></b></div>
</td><td valign="top" width="23%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">-1 0<span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span>1 -1 <span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">® </span>(-x,-y)</span></div>
</td><td width="37%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0<span style="font-family: Symbol;"> ® </span>F(-x,-y) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td width="13%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">3/2 <span style="font-family: Symbol;">p</span></span></b></div>
</td><td width="23%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">0 <span style="color: white;">-</span>1<span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span>-1 0 <span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td width="27%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">® </span>(y,-x)</span></div>
</td><td width="37%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y) = 0<span style="font-family: Symbol;"> ®</span> F(-y,x) = 0</span></div>
</td></tr>
<tr><td width="13%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Symbol; font-size: x-small;">q</span></b></div>
</td><td valign="top" width="23%"><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">cos<span style="font-family: symbol;">q</span> -sin<span style="font-family: symbol;">q ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span>sin<span style="font-family: symbol;">q</span> cos<span style="font-family: symbol;">q</span> <span style="font-family: symbol;">û</span></span></td><td colspan="2"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y) <span style="font-family: Symbol;">®</span> (x cos<span style="font-family: Symbol;"> q</span> - y sinq, x sin <span style="font-family: Symbol;">q</span> + y cos <span style="font-family: Symbol;">q</span>)<br />F(x,y) = 0 <span style="font-family: Symbol;">® </span>F(x cos <span style="font-family: Symbol;">q</span> + y sin <span style="font-family: Symbol;">q</span>, -x sin <span style="font-family: symbol;">q</span> + y cos <span style="font-family: Symbol;">q</span>) = 0</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<b><span style="color: black; font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></span></b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b><i>determinannya = 1</i></b></span><span style="color: black; font-family: 'Bookman Old Style'; font-size: small;"><br /><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b>SIFAT-SIFAT</b><br /><ol type="a">
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar <span style="color: white;">d</span>sama dengan jumlah kedua sudut putar semula.<br /></span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.<br /></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>Catatan: </i><br />Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut </span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">transformasi isometri.<br /><br /></span></li>
</ol>
</span></li>
<li><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b>DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) </b></span><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><table border="1"><tbody>
<tr bgcolor="#CCCCCC"><td bgcolor="#FFFFFF" width="14%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Dilatasi</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" width="19%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Matriks</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" width="33%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan titik</span></b></div>
</td><td bgcolor="#FFFFFF" width="34%"><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan fungsi</span></b></div>
</td></tr>
<tr><td height="48" width="14%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(0,k)</span></div>
</td><td height="48" width="19%"><div align="center">
<span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">k 0<span style="font-family: symbol;">ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span>0 k<span style="font-family: symbol;">û</span></span></div>
</td><td height="48" width="33%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y)<span style="font-family: Symbol;">®</span>(kx,ky)</span></div>
</td><td height="48" width="34%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y)=0<span style="font-family: Symbol;">®</span>F(x/k,y/k)</span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><i>Ket.:</i><br /><br />(0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br />Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">a. k > 1 <span style="font-family: Symbol;">®</span> A' terletak pada perpanjangan OA</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">b. 0 < k < 1 <span style="font-family: Symbol;">®</span> A' terletak di antara O dan A</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">c. k > 0 <span style="font-family: Symbol;">®</span> A' terletak pada perpanjangan AO<br /><br /></span></li>
<li><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b>TRANSFORMASI LINIER</b></span><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br />Ditentukan oleh matriks </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">a b<span style="font-family: symbol;">ù</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /> </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;">ë</span>c d<span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> x'<span style="font-family: symbol;"> <img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="3" />ù</span> = </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> a b <span style="font-family: symbol;">ù</span> </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> x <span style="font-family: symbol;"><img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="1" />ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span> y' <span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> <img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="4" /></span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;">ë</span> c d </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">û</span> <span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;">ë</span> y <span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /><br /></span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> x <span style="font-family: symbol;"><img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="1" />ù</span> = <u> 1 </u> </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;"> <img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="1" />é</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> a -b<span style="font-family: symbol;"> ù</span> </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">é </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">x' <span style="font-family: symbol;"><img height="8" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="1" />ù</span><br /><span style="font-family: symbol;">ë</span> y <span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> ad - bc</span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;"> ë -</span>c d </span><span style="font-family: symbol; font-size: x-small;">û</span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> </span><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><span style="font-family: symbol;">ë </span>y' <span style="font-family: symbol;">û</span></span><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"> </span><b><span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></b><table border="1"><tbody>
<tr><td><div align="center">
<span style="color: black; font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;"><b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan Titik</span></b></span></div>
</td><td><div align="center">
<b><span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">Perubahan Fungsi</span></b></div>
</td></tr>
<tr><td><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">(x,y)<span style="font-family: Symbol;">®</span>(ax+by, cx+dy)</span></div>
</td><td><div align="center">
<span style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">F(x,y)=0 <span style="font-family: symbol;">®</span> <span style="font-family: symbol;">é</span>dx - by , -cx + ay <span style="font-family: symbol;">ù</span><br /> <span style="font-family: symbol;">ë</span>ad - bc ad - bc <span style="font-family: symbol;"><img height="2" src="http://bebas.ui.ac.id/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="2" />û</span></span></div>
</td></tr>
</tbody></table>
<br /><b></b></li>
</ol>
</span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-85300604527187171252012-01-22T17:44:00.000-08:002012-01-22T17:50:25.883-08:00BANGUN DATAR1. <span style="font-family: georgia;">Persegi Panjang</span><br />
<span style="font-family: georgia;"><br /></span><br />
Persegi Panjang adalah segiempat yang keempat sudutnya siku - siku dan sisi - sisi yang <br />
berhadapan sama panjang dan sejajar.<br />
Sifat - sifat :<br />
a. sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar<br />
b. sudut - sudutnya sama besar yaitu sudut siku - siku = 90 derajat<br />
c. Diagonal - diagonalnya sama panjang dan berpotongan serta saling mmembagi dua sama panjang.<br />
<br />
<ul>
<li>Rumus Persegi Panjang</li>
</ul>
<dl><dd>Luas = p x l</dd><dd>Keliling = 2p + 2l = 2 x (p + l)</dd><dd>dengan p = panjang persegi panjang, dan l = lebar persegi panjang</dd></dl>
<br />
<br />
2. Persegi<br />
<br />
Persegi adalah persesgi panjang yang keempat sisinya sama panjang<br />
Sifat - sifat :<br />
a. sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar<br />
b. sudut - sudutnya dibagi dua sama besar oleg diagonal,, sehingga diagonal - diagonalnya<br />
merurpakan sumbu simetri.<br />
c. Diaagonal - diagonalnya berpotongan membentukk sudut siku - siku = 90 derajat<br />
Keliling = 4 x s<br />
Luas = s x s<br />
Panjang diagonal = sisi x akar 2<br />
<br />
<br />
3. Jajargenjang<br />
<br />
Jajargenjang dapat dibentuk dari gabungan sebuah segitiga dan bayanganya setelah diputar<br />
setengah putaran dengan pusat titik tengah salah satu sisinya.<br />
Sifat - sifat :<br />
a. sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar<br />
b. Sudut - sudut yang berhadapan sama besar<br />
c. Jumlah besar sudut - sudut yang berdekatan adalah 180 derajat<br />
d. Kedua diagonal saling membagi dua sama panjang.<br />
Luas = alas x tinggi<br />
<br />
<br />
4. Belah Ketupat<br />
<br />
Belah ketupat dibentuk dari gabungan segitiga samakaki dan bayanganya setelah<br />
dicerminkan terhadap alasnya<br />
Sifat - sifat :<br />
a. semua sisinya sama panjang<br />
b. Sudut - sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal<br />
diagonalnya<br />
c. Kedua diagonal merupakan sumbu simetri<br />
d. Kedua diagonal saling membagi dua sama panjang dan saling berpotongan tegak lurus.<br />
Luas = 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2<br />
<br />
<br />
5. Layang - layang<br />
<br />
Layang - layang dibentuk dari gabungan dua segitiga samakaki yang panjang alasnya sama<br />
dan berhimpit.<br />
Sifat - sifat :<br />
a. masing - masing sepasang sisinya sama panjang<br />
b. salah satu diagonalnya merupakan sumbu simteri<br />
c. salah satu diagonalnya membagi dua sama panjang diagonal lain dan tegak lurus dengan<br />
diagonal itu.<br />
Luas = 1/2 x diagonal 1 x diagonal 2<br />
<br />
<br />
6. Trapesium adalah segiempat dengan tepat sepasang sisi yang berhadapan sejajar.<br />
<br />
Sifat - sifat : jumlah sudut yang berdekatan diantara dua sisi sejajar adalah 180 derajat.subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-77506155120295586112012-01-16T02:35:00.000-08:002012-01-16T02:38:15.343-08:00SEJARAH NOL<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: small;"> </span><span style="font-family: Verdana,sans-serif; font-size: small;"><b>Sejarah Nol</b></span><br />
<br />
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Waclaw Sierpinski, seorang pakar Matematika yang
cemerlang … cemas karena kehilangan sebuah tas bawaannya. “Tidak sayang!”, kata
istrinya. “Semuanya ada enam di sini”. “Tidak mungkin”, Kata Sierpinski. “Aku
telah menghitungnya berulang kali: nol, satu, dua, tiga, empat, lima.” – The
Book Of Number</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Dalam sehari-hari, sesungguhnya kita tidak membutuhkan
angka nol, benar-benar tidak butuh. Ketika anda ditanya, ‘Punya berapa jerukkah
anda ?’, maka anda akan cenderung untuk mengatakan ‘Saya tidak punya jeruk’
ketimbang mengatakan ‘Saya mempunyai nol jeruk’. Ketika kita mempunyai seorang
adik dan ditanya ‘Berapa tahun umur adikmu itu ?’. Maka kita lebih memilih
untuk menjawab ‘Umurnya baru 1 bulan’ daripada harus menjawab dengan ’Umurnya
baru 0 tahun’. Inilah masalahnya, karena dalam prakteknya kita sama sekali
tidak memerlukan angka <b>nol.</b></span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Maka dalam waktu yang sangat lama pada sejarah perjalanan
manusia, angka nol </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">tidak muncul. Dan t</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">ernyata </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">angka nol sendiri </span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">relative belum terlalu lama ditemukan, karena memang
‘tidak penting’. </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Petunjuk mengenai awal manusia mengenal hitungan
ditemukan oleh arkeolog Karl Absolom tahun 1930 dalam sebuah potongan tulang
serigala – ternyata mereka lebih bernyali, karena kita lebih memilih untuk
menggunakan media kertas dibading tulang serigala – yang diperkirakan berumur
30.000 tahun. </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Terserah anda akan membayangkan seperti apa 30.000 tahun
yang lalu itu dan bagaimana kita hidup jika telah dilahirkan pada masa itu. </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Pada potongan tulang itu ditemukan goresan-goresan kecil
yang tersusun dalam kelompok-kelompok yang terdiri atas lima. iiiii iiiii
iiiii. Entah apa yang telah dihitung oleh Manusia gua Gog. </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Apakah ia sedang menghitung berapa lalat yang telah ia
lahap, ataukah sudah berapa lama ia tidak mandi, entahlah. </span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Dan pada zaman
ini angka nol sama sekali belum muncul, karena memangnya untuk apa ?</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Jauh sebelum zamannya si Gog, diperkirakan manusia baru
mengenal angka satu dan banyak atau satu, dua dan banyak. Pada saat ini
ternyata masih ada yang menggunakan sistem ini, yaitu suku Indian Sirriona di
Bolivia dan orang-orang Yanoama di Brasil. Ternyata seiring berjalannya waktu,
mereka mulai merangkai angka yang sudah ada. Suku Bacairi dan Baroro memiliki
system hitung ‘satu’, ‘dua’, ‘dua dan satu’, ‘dua dan dua’, ‘dua dan dua dan
satu’, dst. Mereka memiliki system angka berbasis dua dan kita sekarang
menyebutnya dengan system biner – saat ini kita sering mempelajarinya jika kita
mempelajari system hitungan yang digunakan komputer. Saat ini pun kita
menuliskan sebelas sebagai sepuluh dan satu, dst.</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Sekarang
k</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">ita menyebut
system basis lima yang digunakan si Gog adalah system quiner. Mengapa Gog
memilih lima sebagai basisnya, dan bukannya basis empat atau enam ? </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Toh, </span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">basis berapapun yang dipilih, maka system penghitungan
akan tetap bisa dilakukan</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">.</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"> Tampaknya ini dipilih karena manusia
sajak dari dulu sampai sekarang memiliki lima jari di setiap tangan. Penyebutan
Baroro untuk ‘dua dan dua dan satu’ adalah ‘seluruh jari tangan saya’ dan
masyarakat Yunani kuno menyebut proses penghitungan dengan <i>fiving </i>–
melimakan. Tapi sampai saat itu angka nol tetap belum muncul, karena kita tidak
perlu mencatat </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">dan mengatakan </span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">‘nol serigala’ dan ‘nol adik kita’
bukan ? </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Sejak masa Gog manusia terus mengalami kemajuan. Kembali
kita menelusuri mesin waktu, lima ribu tahun yang lalu, orang-orang Mesir mulai
membuat tanda untuk menunjukkan ‘satu’, tanda lain untuk menunjukkan ‘lima’,
dsb. Sebelum masa piramida, orang-orang Mesir kuno telah menggunakan gambar untuk
system bilangan desimal basis sepuluh, jari dua tangan saya – mereka. Bangsa
Mesir akan menggambar enam simbol untuk mencatat angaka seratus dua puluh tiga
ketimbang menggambar 123 garis. Bangsa Mesir dikenal sangat menguasai matematika.
Mer</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">e</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">k</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">a</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"> pakar
perbintangan dan pencatat waktu yang handal dan bahkan sudah menciptakan
kalender. Penemuan sistem penanggalan matahari merupakan terobosan besar dan
ditambah dengan penemuan seni geometri . Meskipun mereka sudah mencapai
matematika tingkat tinggi, namun angka nol ternyata belum muncul juga di Mesir.
Ini dikarenakan mereka menggunakan matematika untuk praktis dan tidak
menggunakannya untuk sesuatu yang tidak berhubungan dengan kenyataan.</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Kemudian kita berpindah ke Yunani. Sebelum tahun 500 SM,
mereka telah memahami matematika dengan lebih baik dibandingkan Mesir. Mereka
juga menggunakan basis 10. Orang Yunani , sebagai contoh, menuliskan angka 87
dengan 2 simbol, dibandingkan dengan Mesir yang harus menuliskannya dengan 15
simbol, yang justru mengalami kemunduran pada angka Romawi yang memerlukan 7
simbol LXXXVII. Jika bangsa Mesir menganggap matematika hanyalah alat untuk
mengetahui pergantian hari dengan sistem kalender dan mengatur pembagian lahan
dengan geometri, maka orang Yunani memandang angka-angka dan filsafat dengan
sangat serius. Zeno yang melahirkan paradoks ketertakhinggaan dan Pytagoras
yang sangat kita kenal dengan teorem</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">a</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"> segitiga
siku-sikunya yang belakangan diketahui
bahwa rumus ini sebenarnya sudah diketahui sejak 1000 tahun sebelumnya,
dilahirkan di sini. Kita juga mengenal Aristoteles dan Ptolomeus. Mereka
dikenal dengan filsafatnya yang tidak kita bahas dulu, karena akan sangat
panjangwalaupun demikian, mereka juga tidak menemukan angka nol. Angka nol
tetap belum ditemukan sampai saat ini.</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Kembali ke dunia timur, Babilonia – Iraq sekarang –
ternyata memiliki sistem hitung kuno yang jauh lebih maju. Mereka menggunakan
sistem berbasis 60, <i>seksagesimal</i> , sehingga mereka memiliki 59 tanda.
Yang membedakan sistem ini dengan Mesir dan Yunani adalah, bahwa sebuah <i>tanda</i>
dapat berarti 1,60,3600 atau bilangan yg lebih besar lainnya. Merekalah yang
mengenalkan alat bantu hitung <i>abax – soroban </i>di Jepang, <i>suan-pan </i>di
China, <i>s’choty </i>di Rusia, <i>coulbadi </i>di Turki, dll yang </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">di sini </span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">kita sebut dengan <i>sempoa</i>). Sistem hitung mereka
seperti sistem kita saat ini dimana 222 menunjukkan nilai ‘dua’, ‘dua puluh’
dan ‘dua ratus’. Begitu juga simbol i menunjukkan ‘satu’ atau ‘enam puluh’
dalam dua posisi yang berbeda. Orang Babilonia tidak memiliki metode untuk
menunjukkan kolom-kolom yang tepat bagi simbol-simbol tertulis, sementara
dengan abakus hal ini lebih mudah ditunjukkan angka mana yang dimaksud. Sebuah
batu yang terletak di kolom kedua dapat dibedakan dengan mudah dari batu yang
terdapat di </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">k</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">olom ketiga dan seterusnya. Dengan
demikian i dapat berarti 1, 60 atau 3600 atau nilai yang lebih besar. Sehingga
ii dapat lebih kacau lagi, karena bsa berarti 61, 3601, dsb. Maka diperlukan
penanda dan mereka menggunakan <i>ii </i>sebagai tempat kosong, sebuah kolom
kosong pada abakus. Sehingga sekarang ii berarti 61 dan i<i>ii</i>i berarti
3601. Walaupun mereka telah menemukan penanda kolom kosong dengan <i>ii, </i>namun
sesungguhnya angka nol tetap saja belum muncul pada kebudayaan ini.<i>ii </i>tetap
tidak mempunyai nilai numerik tersendiri. </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Maka ketika kita meninggalkan kebudayaan-kebudayaan di
atas, tetap saja belum kita temukan angka nol dan dari titik ini kita akan
mengalami percabangan untuk menentukan siapa sebenarnya penemu sang angka nol.
Asal mula matematika di India masih samar. Sebuah teks yang ditulis pada tahun
476 M menunjukkan pengaruh matematika Yunani, Mesir dan Babilonia yang dibawa
Alexander saat penaklukannya. Suatu ketika pakar Matematika India </span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">mengubah sistem hitung mereka dari sistem Yunani ke
Babilonia tetapi berbasis sepuluh. Namun dari referensi pertama bilangan Hindu
yang berasal dari seorang Uskup Suriah pada tahun 662 menyebutkan bahwa mereka
menggunakan 9 tanda dan bukannya sepuluh.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Dengan
jatuhnya kekaisaran Romawi pada abad VII, Barat pun mengalami kemunduran dan Timur
mengalami kebangkitan. Selama bintang Barat tenggelam di balik cakrawala,
bintang lainnya terbit, Islam.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Setelah
Rasulullah Muhammad saw wafat maka dimulailah masa Khulafur Rasyidin yang
dipimpim oleh Khalifah Abu Bakar Ash Shiddiq ra, Amirul Mukminin Umar Bin
Khattab Al Faruq ra, Amirul Mukminin Usman Bin Affan Dzunnurrain ra dan Amirul
Mukminin Ali Bin Abi Thalib kw. Dan saat ini Islam telah tersebar mencapai
Mesir, Suriah, Mesopotamia dan Persia dan juga Yerusalem. Pada tahun 700 M,
Islam telah mencapai sungai Hindus di Timur dan Algiers di Barat. Tahun 711 M,
Islam telah menguasai Spanyol sampai ke wilayah Prancis dan di tahun 751 M
telah mengalahkan Cina. Dan di Spanyol yang lebih dikenal dengan Andalusia,
mengalami puncak kejayaanya pada abad VIII.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Pada
abad IX, Khalifah Al Ma’mun mendirikan perpustakaan megah, Bayt Al Hikmah –
Rumah Kebijaksanaan. Dan salah satu ilmuwan terkemukannya adalah Muhammad Ibnu
Musa Al Khawarizmi. Tulisan pentingnya antara lain Al-Jabr Wa Al-Muqabala dan
dari sinilah muncul istilah aljabar – penyelesaian. Dan juga menyebarkan
Algoritma dari kata Al-Khawarizmi.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; mso-margin-bottom-alt: auto; mso-margin-top-alt: auto; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt;">Dan
dari sinilah bangsa-bangsa di belahan dunia lain akan mengikuti sistem bilangan
arab yang baru. Bilangan yang terdiri atas sepuluh tanda. Dan akhirnya angka nol
pun muncul dan selesailah perjalanan kita. Dan kita tetap belum tahu secara
pasti apakah angka nol pertama muncul di India ataukah di Andalusia ataukah di
Arab. Namun suatu hal yang pasti, ia baru muncul pada abad – minimal – VI atau
bahkan lebih. Wallahu ‘alam.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Dalam matematika modern sekarang ini, kita sudah terbiasa dengan nol
sebagai nomor. Sulit untuk percaya bahwa sistem bilangan yang paling kuno tidak
termasuk nol. Peradaban Maya mungkin telah termasuk orang pertama yang memiliki
simbol untuk nol. Orang-orang suku Maya berkembang di semenanjung Yucatan,
Meksiko sekitar 1300 tahun yang lalu. Mereka menggunakan sebagai pengganti angka, dalam sebuah sistem
tempat-nilai vertikal. Hal ini dianggap sebagai salah satu prestasi terbesar
budaya mereka.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bangsa Mesir kuno, Roma, dan Yunani sama-sama tidak memiliki simbol
untuk nol. Dalam geometri Yunani, nol dan bilangan irasional tidak
memungkinkan. Orang-orang Yunani membuat langkah besar dalam matematika, tapi
semuanya dilakukan dengan sistem nomor tanpa nol. Astronom Yunani Ptolemeus
(ca. AD 150) adalah orang pertama yang menulis nol pada akhir nomor. Untuk ini,
ia menggunakan simbol lingkaran.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Dalam sejarah Babilonia kuno, tidak ada penggunaan nol. Di Babilonia
zaman berikutnya atau selama periode Seleukus, simbol khusus, yang juga
digunakan sebagai tanda pemisahan antara kalimat, mulai digunakan untuk nol.
Ada kemungkinan pasti bahwa Bailonia menggunakan tanda ini untuk menandai nol
dalam angka, sejak akhir abad kedelapan SM. Sampai zaman Aristoteles, tampaknya
tidak ada bukti bahwa Babilonia pernah menganggap nol sebagai nomor.
Aristoteles membahas pembagian dengan nol sehubungan dengan kecepatan melalui
ruang hampa.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Selama Zaman Kegelapan, matematika Barat terhambat oleh sistem
penomoran tradisional Romawi. Yang pertama berpikir secara berbeda adalah
Leonardo Fibonacci. Dia adalah putra seorang saudagar yang lahir di kota Pisa,
Italia, pada akhir abad kedua belas. Di Pisa, ia mempelajari karya Euclid dan
matematikawan Yunani lainnya. Ketika ia masih remaja, ia pindah ke kota Muslim
Bugia, di Afrika Utara. Di sana dia memeriksa kulit dan bulu sebelum mereka
dikirim kembali ke Pisa. Leonardo mendapat pendidikan dalam budaya Arab saat ia
berkeliling ke Konstantinopel Mediterania, Mesir dan Suriah. Dia mengakui bahwa
angka-angka Hindu-Arab, angka-angka yang kita pakai sekarang, lebih tinggi dari
angka Romawi ia pelajari saat dibesarkan di Barat.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Pada abad keenam, matematikawan di India mengembangkan sistem
nilai-tempat. Mereka memperkenalkan konsep nol untuk menjaga simbol-simbol
mereka di tempat yang benar. Pada abad ketujuh, para sarjana Hindu Islam
memperkenalkan ide-ide dari nol dan nilai-tempat. Ide-ide ini menyebar dengan
cepat di seluruh dunia Arab. Enam abad kemudian, Fibonacci begitu terkesan
dengan kemudahan angka Hindu-Arab sehingga ia menulis sebuah buku berjudul
Liber Abaci.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Para pedagang lokal Pisa, kelas perdagangan, mengabaikan buku
Fibonacci. Mereka berkubang dalam kemakmuran, dan tidak mau berhenti
menggunakan angka Romawi dan menggantinya dengan penggunaan angka nol.
teman-teman Ferbonacci menyukai sistem nomor baru tersebut dan perlahan-lahan
mulai meninggalkan penggunaan angka Romawi. Pada abad ke lima belas, angka itu
mulai muncul di koin dan batu nisan. Matematika Barat mulai bangkit dari Abad
Kegelapan, dan berkembang menjadi sistem nomor baru dengan nol, angka
Hindu-Arab. Kemajuan segera dalam matematika setelah waktu itu adalah bukti
pentingnya, angka nol.</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Nol mempunyai dua
fungsi yang sama-sama penting tetapi berbeda dalam beberapa hal.Fungsi pertama
ialah tempat yang kosong mengindikasikan pada sistim angka nilai – posisi
kita.Oleh karena itu, pada angka seperti 2106 nol di gunakan agar posisi 2 dan
1 benar.jelasnya 216 berarti sesuatu yang berbeda. Fungsi ke 2 dari nol adalah angka itu sendri
pada bentuk yang kita gunakan seperti 0. Perbedaan yang ada pada dua fungsi
tersebut adalah pada penamaan konsep,system penuliosan, dan namanya.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Kita mungkin berfikir
bahwa system nomor-tempat yang meminculkan wujud 0 Sebagai bentuk kosong adalah
gagasan penting,namun bangsa Babylonia. Mempunyai system nomor-tempat tentang
hal ini selama lebih dari seribu tahun (11). Hal ini dapat dibuktikan
berdasarkan teks asli yang selamat dari era matematika bangsa Babylon. Bangsa
Babylon menulis pada papan yang terbuat dari tanah liat.Banyak papan yang
selamat pada tahun 1700SM dan dapat kita abaca teks aslinya. Tentu saja ada
system penulisan yang berbeda dengan system kita (tidak berbasis 10 tetapi 60)
tetapi utuk menerjemahkan pada system penulisan kita tidak begitu bebeda antara
2106 dan 216 ( konteksnya harus dapat memperlihatkan apa yang di harapkan).
Tidak sampai,sekitar,tahun 400SM bangsa Babylon menaruh 2 perubahan symbol di
tempat kita menaruh 0 untuk mengindikasikan yg seperti 216 atau 21” 6</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Sebuah papan yang di
perkirakan di byuat sekitar tahun 700SM menggunakan 3 hook (membentuk
bengkokan) untuk menandai tempat yg kosong. Hal ini adalah ciri yang biasa
untuk menandai bagian yang kosong.Hal ini membuktikan bahwa tidak pernah trjadi
pada akhir digit tetapi selalu antara 2 digit. Jadi walaupun kita menemukan 21
“ 6 kita tidak pernah menemukan 216”.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bangsa Yunani juga
berpandapat bahwa 0 sebagai penanda tempat yg kosong.Akan tetapi, bangsa Yunani
tidak mengadopsi system posisi angka bangsa Babylon.Karena matematika Yunani
berdasar pada Geometri. Dengan kata lain matematika Yunani tidak perlu
menamakan angka mereka. Angka yang diberi hanya di gunakan pada pedagang, bukan
matematika, sebab itu tidak perklu system penulisan yg baik.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Ada pengecualian pada
apa yg di ungkapkan di atas. Pengecualiannya terdapat pada ahli matematika yang
bergerak dalam bidang perekaman data astronomi. Disini dapat di temukan
penggunaan pertama suastu symbol yg kita kenal dengan nol,astronomi yunani
mulai menggunakan symbol nol. Ada beberapa teori muncul tentang mengapa symbol
ini yang di gunakan . beberapa sejarawan berpendapat bahwa symbol tersebut
adalah omicron, huruf pertama dalam aksara Yuanni tidak ada yang di namakan “
ouden”. Neugebaeur menentang penjelasan tersebut karena bangsa Yunani
menggunakan omicron sebagai anagka penjelasan lain termasuk fakta bahwa hal ini
mewakili “ obol”, sebuah koin yang
hamper tak berharga, dan ini munculm pada saat logam kecil di gunakan untuk
menghitung di papan pasir. Yang di ingunkan ialah ketika uang logam di pindah
untuk meninggalkan kolom yang kosong ia meninggalkan tekanan pada pasir yang
berbentuk pada 0.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Sekitar tahun 500 M
Aryabhata merancang system angka yg belum terdapat angka nol. Yang menggunakan
kata “kha” untuk posisi dan selanjutnya di gunakan dengan untuk nol. Ada bukti
yang memunculkan bahwa titik di gunakan pada awal manuskrip india untuk
menandakan tempat yg kosong pada system penulisan cukup menarik dokumen yang
sama kadang kadang di gunakan titik untuk menandakan hal yang tidak di ketahui
yang biasanya kita gunakan x. belakangan matematika India mengsahkan nol pada
posisi angka namun belum ada symbol yg mewakilinya.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Sekarang dibahas
tentang pemutusan nol sebagai angka. Dari
zaman dulu angka adalah kata yang mewakili koleksi pada objek. Pastinya gagsan tentang agka menjadi sagat
abstrak dan abstraksi ini memungkinkan untuk kemunulan nol dan anka negative
yang tidak ada pada koleksi sifat objek. Tentusaja masalah yang timbul ketika
seseorang mencoba untuk mempertimbangkan nol dan negative sebagai angka adalah
bagaimana bergabung dalam brhubungan pada oprasi aritmatik, substraksi
tambahan, multiplikasi dan divisi.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Brahmagupta mencoba
memberikan aturan pada aritmatika dengan melibatkan angka ol dengan negative
pada abad ke 7. Ia menjelaskan bahwa menentukan angka dan jika kamu
mensubstraksinya sendiri maka kamu mendapat nol. Ia memberikan peraturan
tambahan yang berhubungan dengan nol sbb :</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">The sum of zero ang a negative number is
a negative, the um of positif number and zero is positive, the sum of zero and
zero is zero</span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; tab-stops: .5in; text-align: justify;">
<span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">ju</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">mlah angka nol dan negative adalah
negative, jumlah angka positif dan nol adalah positif,jimlah old an nol adalah
nol.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Substraksi terlihat
lebih keras :</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">A negative number subtracted from zero is
positive, a positive number subtracted from zero is negative, zero subtracted
from a negative umber is negative, zero subtracted from positif number is
positive, zero subtracted from zero is zero.</span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Angka negative di
substraksikan dari nol adalah positive, angka positif substraksikan dari nol
adalah negative, nol di substraksikan dari angka positif adalah negative, nol
di substraksikan dari nol adalah nol</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Sebenernya Brahmaupta
berkata sangat sedikit ketika ia mengemukakan bahwa n dibagi nol adalah n/0. Ia
salah ketika ia megklaim bahwa nol dibagi nol adalah nol. Akan tetapi, adalah
suatu percobaan yang jenius dari orang pertama yang kita tahu mencoba untuk
mengembangkan aritmatika pada angka negative dan nol.</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Pada 830 Mahavira
menulis Ganita Sara Samgraha yang terbuat untuk memperbarui buku Brahma
Gupta.Ia menyatakan bahwa</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">… a number multiplied by zero is
zero,and a number remain the same when zero is substracted from it.</span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Angka
yang dikalikan nol hasilnya nol,dan angka akan tetap sama apabila tetap
disubtraksikan dengan angka tersebut.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bagamanapun jugaia
mencoba memperbaikipernyataan Brahmagupta tentang pembagian nol yang
terlihatbanyak membuat kesalahan.Ia menulis : </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: .5in;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">A number remain unchanged when
divided by zero.</span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: .5in;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Angka
tetap sama apabila dibagi dengan nol</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bhaskhara menulis lebih
dari 500 tahun setelah Brahmagupta.Ia menulis</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; tab-stops: .5in; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">A quantity devided by zero becomes
a fraction the denominator of which is zero.This fractionis temed aninfinite
quantity.in this quantity consistingof that whichhas zero for its divisor,there
is no alteration,though many maybe insertedor extracted ;as no change takes
place in theinfinity and immutable God when worlds are created or
destroyed,though numerous orders of beings areabsorbed or put forth.</span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Banyaknya
pembagian nol menjadi penyebut bilangan pecahan adalah nol.Bilangan pecahan ini
mempunyai batas yang tidak terbatas.Dalamjumlah ini terdiri dari nol sebagai
penyebut,tidak ada perubahan,Walaupun banyak yang dimasukkanatau
dikeluarkan : tidak ada perubahan pada
Tuhan yang tidak terbatasdan tidak dapat digantikan ketika dunia diciptakan
atau dihancurkan,walau banyak sekali pesanan yang diserap maupun dikeluarkan.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Maka Bhaskharamencoba
untuk memecahkan sebuah masalah dengan menulis <i style="mso-bidi-font-style: normal;">n</i>/0=</span><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: 11pt; line-height: 115%; position: relative; top: 5.5pt;"><img height="22" src="file:///C:/DOCUME%7E1/k_dewa/LOCALS%7E1/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.gif" width="11" /></span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">.Dilihat pertama kali
kita terbujuk untuk percaya bahwa Bhaskhara benar,tetapi tentu sajaia tidak
benar.Apabila benar waktu 0 adalah harus
sejajar dengan angka <i style="mso-bidi-font-style: normal;">n</i>, maka semua
angka sejajar.Matematika India tidak menyimpulkan padahal pembenaran bahwa
sesuatu tidak dapat dibagi dengan 0,Akan tetapi Bhaskahara juga mempunyai
pernyataan yang benar seperti 0<sup>2</sup>=0 dan 0=0.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Bangsa maya yang hidup
diAmerika tengah ,yang sekarangfdikenal Meksiko selatan,Guetemala,dan Utara
belize.Pada tahun 665mereka menggunakan sisitem angka nilai tempatdengan
nilaidasar 20 dengan menggunakan simbol nol.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Suatu kerja yang jenius
dari matematika India dikirimkan matematikawan Islamis dan Arabis jauh ke
barat.Inilah awal bagi Al-Khwarizmi yang menulis Al’Khwarazimi on the Hindu Art
of Reckoning yang menggambarkan sistem angka place-value dengan nilai dasar
1,2,3,4,5,6,7,8,9,dan 0.Hasil inilah yang digunakan oleh Irak dimana 0 dianggap
sebagai awal dari system penulisan.Ibn Ezra pada abad 12 menulis sebuah buku
yang membaas secara mendalam tentang angka yang membantu simbol bangsa india
dan gagasan pecahan bilangan desimal
manjadi suatu perhatian bagi para
pelajar Eropa. The book of the number
menggambarkan sistem decimal untuk bilangan bulatyang system place-value nya
dari kiri ke kanan.Pada hal ini ibn Ezra menggunakan nol yang mereka sebut
galgal (berarti roda atau lingkaran) pada akhir abad ke 12 al-Samawal menulis :</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 35.45pt; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">If we subtract apositif number from zero
the same negative number remains….If we subtract a negative number from zero
the same positive number remains.</span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: .5in; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Jika
mensubtraksikan angka positif dari nolangka negative yang sama akan tetap …
jika kita akan mensubtrasikan angka negative dari nol angka positif yang sama
akan tetap.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Gagasan orang India
menyebar dariutara ke Cina seperti barat ke Negara islam.Pada tahun 1274
matematikawan cina Hi’in Chiu-shao menulis mathematical tratise in nine section
yang menggunakan symbol 0 untuk nol.Selanjutnya di tahun 1303,Chu nih- chieh
menulis cermin batu pernata hijaudari empat elemen yang menggunakan symbol 0
untuk nol.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Tentu saja adamasalah
yang ditimbulkan oleh nol.Baru saja
orang merayakan millennium baru pada 1 januari 2000.Tentu saja mereka merayakan
setelah melewati 1999 tahun sejak kalender terbuat walaupun tidak ada tahun
nol. Walaupun seseorang dapat memahami kesalahan tersebut,sangat mengejutkan
bahwa banyak orang tidak dapat mengerti mengapa millennium ketiga dan abad 21
dimulai pada 1 januari 2001.Nol masih menyisahkan masalah.</span><span lang="IN" style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12pt; line-height: 115%;"></span></div>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-79198244672999778372011-07-24T07:52:00.000-07:002011-07-24T07:52:30.223-07:00RUMUS LENGKAP FISIKA (kalor)<h2>
<span class="mw-headline" id="Kalor_jenis">Kalor jenis</span></h2>
<b>Rumus:</b><br />
<img alt="\!Q=\!m\times\!c\times\Delta\!t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/0/c/10c13a6d4576da33d9caffec4be3b3ec.png" /><br />
dengan ketentuan:<br />
<ul>
<li><img alt="\!Q" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/5/a55a198d7352ae27ef617fa9cd64415f.png" /> = Kalor yang diterima suatu zat (Joule, Kilojoule, Kalori, Kilokalori)</li>
<li><img alt="\!m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/a/9aa2060bb9cfef68569718d886362377.png" /> = Massa zat (Gram, Kilogram)</li>
<li><img alt="\!c" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/f/bcfe37e5b15ed1a462cc886785e51095.png" /> = Kalor jenis (Joule/kilogram°C, Joule/gram°C, Kalori/gram°C)</li>
<li><img alt="\Delta\!t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/9/2297d144028a1d3d6a173f8c8246ecfc.png" /> = Perubahan suhu (°C) → (t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub>)<a name='more'></a></li>
</ul>
Untuk mencari kalor jenis, rumusnya adalah:<br />
<img alt="\!c=\frac{Q}{\!m\times\Delta\!t}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/e/4/4e486f2f746cf898cfb6d81b4a3b0b7e.png" /><br />
Untuk mencari massa zat, rumusnya adalah:<br />
<img alt="\!m=\frac{Q}{\!c\times\Delta\!t}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/3/6/e/36ed9d0b86bad2b84c039154eb9d562c.png" /><br />
<h2>
<span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Kapasitas_kalor">Kapasitas kalor</span></h2>
Kapasitas kalor adalah banyaknya kalor yang dibutuhkan oleh benda untuk menaikkan suhunya 1°C.<br />
Rumus kapasitas kalor:<br />
<img alt="\!H=\frac{Q}{\Delta\!t}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/3/0/b306d42b483af3afd2a39e6d243849e7.png" /><br />
<br />
<img alt="\!H=\frac{\!m\times\!c\times\Delta\!t}{\Delta\!t}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/0/3/203a69f3692ae317db519689ee093332.png" /><br />
<br />
<img alt="\!H=\!m\times\!c" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/5/1/951c6fba12afc49e440fd1317fb19dcd.png" /><br />
dengan syarat:<br />
<ul>
<li><img alt="\!Q" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/5/a55a198d7352ae27ef617fa9cd64415f.png" /> = Kalor yang diterima suatu zat (Joule, Kilojoule, Kalori, Kilokalori)</li>
<li><img alt="\!H" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/f/9/f/f9fd25f84d8433d2fefe74c726d70357.png" /> = Kapasitas kalor (Joule/°C)</li>
<li><img alt="\!m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/a/9aa2060bb9cfef68569718d886362377.png" /> = Massa zat (Gram, Kilogram)</li>
<li><img alt="\!c" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/b/c/f/bcfe37e5b15ed1a462cc886785e51095.png" /> = Kalor jenis (Joule/kilogram°C, Joule/gram°C, Kalori/gram°C)</li>
<li><img alt="\Delta\!t" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/2/2/9/2297d144028a1d3d6a173f8c8246ecfc.png" /> = Perubahan suhu (°C) → (t<sub>2</sub> - t<sub>1</sub>)</li>
</ul>
contoh soal: sebuah zat dipanaskan dari suhu 10°C menjadi 35°C. Kalor
yang dikeluarkan adalah 5000 Joule. Jika masa zat adalah 20 kg.
Berapakah kalor jenis dan kapasitas kalor zat tersebut? Jawab :
Diketahui:<br />
<pre> t1 =10°C
t2 =35°C
Q =5000 J
m =20 kg
</pre>
Ditanya :b. Kapasitas kalor (H)<br />
<pre> a. kalor jenis (c)
delta t = t2-t1
= 35°-10°
= 25°
c = Q/m × delta t
c = 5000/20 × 25
c =250 ×25
c =6250 J/kg C°
</pre>
<pre> H = m × c
= 20kg × 6250 J/kg C°
= 125000 J/ C°
</pre>
<h2>
<span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Kalor_lebur">Kalor lebur</span></h2>
<b>Rumus:</b><br />
<img alt="\!Q=\!m\times\!L" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/6/d/66d255d704f0690d59ad1ec0866b32ca.png" /><br />
dengan ketentuan:<br />
<ul>
<li><img alt="\!Q" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/5/a55a198d7352ae27ef617fa9cd64415f.png" /> = Kalor yang diterima suatu zat (Joule, Kilojoule, Kalori, Kilokalori)</li>
<li><img alt="\!m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/a/9aa2060bb9cfef68569718d886362377.png" /> = Massa zat (Gram, Kilogram)</li>
<li><img alt="\!L" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/c/a/f/caf4d1112f95851aa2812066a1ca64a6.png" /> = Kalor lebur zat (Joule/kilogram, Kilojoule/kilogram, Joule/gram)</li>
</ul>
<h2>
<span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Kalor_uap">Kalor uap</span></h2>
<b>Rumus:</b><br />
<img alt="\!Q=\!m\times\!U" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/0/4803d820612540655417152ccfdfe75d.png" /><br />
dengan ketentuan:<br />
<ul>
<li><img alt="\!Q" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/a/5/5/a55a198d7352ae27ef617fa9cd64415f.png" /> = Kalor yang diterima suatu zat (Joule, Kilojoule, Kalori, Kilokalori)</li>
<li><img alt="\!m" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/9/a/a/9aa2060bb9cfef68569718d886362377.png" /> = Massa zat (Gram, Kilogram)</li>
<li><img alt="\!U" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/6/9/6/696dee96bb219decabd01acf1a9d4aa1.png" /> = Kalor uap zat (Joule/kilogram, Kilojoule/kilogram, Joule/gram)</li>
</ul>
Contoh Soal :<br />
Berapa energi kalor yang diperlukan untuk menguapkan 5 Kg air pada titik didihnya, jika kalor uap 2.260.000 Joule/Kilogram ?<br />
<div class="poem">
Jawab :<br />
Diketahui : m = 5 Kg<br />
U = 2.260.000 J/Kg<br />
<br />
Ditanyakan : Q =..... ?<br />
<br />
Jawab Q = m x U<br />
= 5 Kg x 2.260.000 J/Kg<br />
= 11.300.000 J<br />
= 11,3 x 10<sup>6</sup> J<br />
</div>
<h2>
<span class="editsection"></span> <span class="mw-headline" id="Asas_Black">Asas Black</span></h2>
<b>Rumus:</b><br />
<img alt="\!Q_{terima}=\!Q_{lepas}" class="tex" src="http://upload.wikimedia.org/math/1/3/b/13b3791b732d96b6c1260083870e6215.png" /> Asas Black : Jumlah kalor yang diterima sama dengan jumlah kalor yang dilepas..subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-87147982455668924292011-07-24T06:56:00.000-07:002011-07-24T06:56:53.868-07:00TIPS-TIPS MENYELESAIKAN SOAL MATEMATIKABelajar Matematika sangat mengasyikkan jika kita tahu cara
penyelesaiannya. Persoalan matematika biasanya dikerjakan dengan
cara-cara yang pasti/baku, atau dengan trik-trik yang dapat mempermudah
perhitungan pada umumnya. Bila Anda ingin makin mahir dalam bidang
Matematika, hendaknya sering melatih diri dengan menyelesaikan persoalan
Matematika sebanyak mungkin.<br /><br />
Di bawah ini ada 9 (sembilan) tips dan trik penyelesaian soal Matematika dengan cepat, antara lain :<br />
<a name='more'></a><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>1. Pengkuadratan Angka Berakhiran Lima</strong></span><br /> langkah-langkahnya :<br /> a) Kalikan angka sebelum angka lima dengan angka urutan selanjutnya.<br /> b) Tuliskan angka 25 di belakang angka hasil dari a)<br /> contoh :<br /> i. <strong>65<sup>2</sup></strong> = ?<br /> a) 6 x 7 = 42<br /> b) hasil : 4225<br /> ii. <strong>105<sup>2</sup></strong> = ?<br /> a) 10 x 11 = 110<br /> b) hasil : 11025<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>2. Pengkuadratan Dua Angka Bilangan yang dimulai dengan Lima</strong></span><br /> langkah-langkahnya :<br /> a) Tambahkan bilangan 25 dengan bilangan satuannya.<br /> b) Kuadratkan bilangan satuannya.<br /> (khusus untuk angka satuan 1, 2, dan 3, hasil kuadratnya dituliskan 01, 04, dan<br /> 09)<br /> c) Hasil akhir adalah gabungan a) dan b)<br /> contoh :<br /> i. <strong>51<sup>2</sup></strong> = ?<br /> a) 25 + 1 = 26<br /> b) 1<sup>2</sup> = 01<br /> c) hasil : 2601<br /> ii. <strong>59<sup>2</sup></strong> = ?<br /> a) 25 + 9 = 34<br /> b) 9<sup>2</sup> = 81<br /> c) hasil : 3481<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>3. Pengkuadratan Dua Angka Bilangan yang diakhiri angka Satu</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Kuadratkan angka bulatnya.<br />b) Jumlahkan angka tersebut dengan angka bulatnya.<br />c) Hasil akhirnya adalah jumlah dari a) dan b)<br /> contoh :<br /> i. <strong>61<sup>2</sup></strong> = ?<br /> a) 60<sup>2</sup> = 3600<br /> b) 61 + 60 = 121<br /> c) hasil : 3600 + 121 =3721<br /> ii. <strong>21<sup>2</sup></strong> = ?<br /> a) 20<sup>2</sup> = 400<br /> b) 21 + 20 = 41<br /> c) hasil : 400 + 41 = 441<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>4. Perkalian Satu Angka dengan 11 (11; 110; 1,1 dan seterusnya</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Tuliskan angkanya.<br />b)
Sisipkan angka dari jumlah dua angka tersebut. Hati-hati bila hasil
penjumlahannya lebih dari 9, angka puluhannya dijumlahkan dengan angka
pertama.<br /> contoh :<br /> i. <strong>24 x 11</strong> = ?<br /> a) 2 ? 4<br /> b) 2 + 4 = 6 -->> Hasilnya : 264<br /> ii. <strong>67 x 11</strong> = ?<br /> a) 6 ? 7<br /> b) 6 + 7 = 13 -->> 6 + 1 = 7 -->> Hasilnya : 737<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>5. Perkalian Satu Angka atau Dua Angka dengan 99 (0,99; 9,9; 990 dst.)</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Kurangi bilangan tersebut dengan angka 1.<br />b) Kurangi bilangan 100 dengan bilangan tersebut.<br />c) Hasil akhirnya adalah gabungan dari a) dan b)<br /> contoh :<br /> <strong>15 x 99</strong> = ?<br /> a) 15 - 1 = 14<br /> b) 100 - 15 = 85<br /> c) hasilnya : 1485<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>6. Perkalian Bilangan Genap dengan 1,5; 2,5; 3,5 dst.</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Kalikan bilangan pengali dengan 2.<br />b) Bilangan yang dikalikan dibagi dengan angka 2.<br />c) Hasil akhirnya adalah perkalian a) dan b)<br /> contoh :<br /> <strong>16 x 4,5</strong> = ?<br /> a) 4,5 x 2 = 9<br /> b) 16 : 2 = 8<br /> c) hasilnya : 9 x 8 = 72<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>7. Perkalian Satu atau Dua Angka dengan 101 (1,01; 10,1 dst)</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Tuliskan angkanya dua kali.<br />b) Sisipkan nol atau koma.<br /> contoh :<br /> i. <strong>27 x 101</strong> = ?<br /> a) 2727<br /> ii. <strong>4 x 101</strong> = ?<br /> a) 44<br /> b) hasilnya : 404<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>8. Perkalian Dua Bilangan yang Nilainya Berselisih Dua</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Kuadratkan bilangan di antaranya.<br />b) Hasilnya : a) -1.<br /> contoh :<br /> i. <strong>11 x 13</strong> = ?<br /> a) 12<sup>2</sup> = 144<br /> b) Hasilnya : 144 - 1 = 143<br /><br /><span style="font-size: 18px; line-height: normal;"><strong>9. Perkalian Dua Bilangan dengan Hubungan Khusus : Bilangan puluhannya bernilai sama dan jumlah bilangan satuannya adalah 10</strong></span><br />langkah-langkahnya :<br />a) Kalikan bilangan puluhan dengan bilangan berikutnya.<br />b) Kalikan masing-masing bilangan satuannya.<br />c) Hasilnya adalah gabungan dari a) dan b).<br /> contoh :<br /> i. <strong>16 x 14</strong> = ?<br /> a) 1 x 2 = 2<br /> b) 6 x 4 = 24<br /> c) Hasilnya : 224<br /> ii. <strong>28 x 22</strong> = ?<br /> a) 2 x 3 = 6<br /> b) 8 x 2 = 16<br /> c) Hasilnya : 616subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-58475205713101545252011-07-04T09:28:00.001-07:002012-01-16T02:44:05.052-08:00JARINGAN EPITEL BIO<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Jaringan
epitel adalah jaringan yang melapisi permukaan tubuh, organ tubuh
atau permukaan saluran tubuh hewan.</span></div>
<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Berdasarkan
bentuk dan susunannya jaringan epitel dibagi menjadi</span></div>
<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>1.
Epitel Pipih</b></span></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="color: purple;">
<tbody>
<tr valign="top">
<td width="6%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">a.</span></div>
</td>
<td width="94%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Epitel
pipih selapis<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i>Contoh:</i><br />
pada pembuluh darah, alveolus, pembuluh limfe, glomerulus
ginjal.</span></td>
</tr>
<tr valign="top">
<td width="6%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">b.</span></div>
</td>
<td width="94%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Epitel
banyak lapis </span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
<br />
<i>Contoh:</i><br />
pada kulit, rongga mulut, vagina.</span></td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>2.
Epitel Kubus<br />
</b></span></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="color: purple;">
<tbody>
<tr>
<td valign="top" width="5%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">a.</span></div>
</td>
<td width="95%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Epitel
kubus selapis<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i>Contoh:</i><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">pada
kelenjar tiroid, permukaan ovarium.</span></td>
</tr>
<tr>
<td valign="top" width="5%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">b.</span></div>
</td>
<td width="95%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Epitel
kubus banyak lapis<br />
<i>Contoh:</i><br />
pada saluran kelenjar minyak dan kelenjar keringat pada kulit.</span></td>
</tr>
</tbody></table>
<div align="center">
<img height="97" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Biologi/Image/2-1b-1.jpg" width="300" /></div>
<div align="center" style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i>Gbr.
1. Epitel kubus selapis<br />
2. Epitel pipih
selapis<br />
</i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i>3.
Jaringan ikat<br />
</i></span><span style="font-size: x-small;"><i><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">(diambil
dari lapisan allantois dan amnion embrio babi).</span></i></span></div>
<br />
<a name='more'></a><br />
<br />
<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>3.
Epitel Silindris</b></span></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td align="left" style="color: purple;" valign="top" width="6%"><div align="center">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">a.</span></b></span></div>
</td>
<td width="42%"><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i><b>Epitel
silindris selapis</b></i></span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><span style="color: purple; font-size: small;"><br />
<i>Contoh:</i><br />
pada lambung, jonjot usus, kantung empedu, saluran pernafasan
bagian atas</span>.</span></td>
<td rowspan="3" width="52%"><img height="161" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Biologi/Image/2-1b-2.jpg" width="250" /><br />
<div align="center" style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i>Gbr.
Epitel silindris banyak lapis bersilia .<br />
(tampak silia di tengah-tengah,<br />
diambil dari eaofagus janin).</i></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td align="left" style="color: purple;" valign="top" width="6%"><div align="center">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">b.</span></b></span></div>
</td>
<td style="color: purple;" width="42%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b><i>Epitel
silindris banyak lapis</i></b><br />
<i>Contoh:</i><br />
pada saluran kelenjar ludah, uretra.</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="left" style="color: purple;" valign="top" width="6%"><div align="center">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">c.</span></b></span></div>
</td>
<td style="color: purple;" width="42%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i><b>Epitel
silindris banyak lapis </b></i>semu/epitel silindris bersilia<br />
<i>Contoh:</i><br />
pada trakea, rongga hidung.</span></td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>4.
Epitel Transisional</b></span></div>
<div style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Merupakan
bentuk epitel banyak lapis yang sel-selnya tidak dapat digolongkan
berdasarkan bentuknya. </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Bila
jaringannya menggelembung bentuknya berubah.</span></div>
<div align="left" style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i>Contoh:</i>
pada kandung kemih.</span></div>
<div align="center" style="color: purple;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><i>Gbr
3. Epitel transisional dari kandung kemih anjing.</i></span></div>
<div align="center">
<span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;"><img height="99" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Biologi/Image/2-1b-3.jpg" width="395" /><br />
<span style="color: purple; font-size: x-small;"><i>A : kandung kemih kosong </i></span></span></div>
<div align="center">
<img height="249" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Biologi/Image/2-1b-4.jpg" width="300" /><span style="font-size: xx-small;"><i><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">
<br />
<span style="font-size: x-small;"><span style="color: purple;">B : kandung kemih berisi urine</span></span></span></i></span></div>
<span style="color: black; font-family: Garamond; font-size: x-small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;"><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: purple;">Sebagai jaringan yang menutup seluruh permukaan luar dan dalam
tubuh setiap organisme, jaringan epitel mempunyai fungsi sebagai
berikut</span><br style="color: purple;" /><span style="color: purple;">
</span></span></span></span> <span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
<br />
</span> <span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
1. Sebagai pelindung<br />
</span> <span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
2. Sebagai kelenjar<br />
</span> <span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
3. Sebagai penerima rangsang<br />
</span> <span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
4. Sebagai lalu lintas keluar masuknya zat</span><br />
<br />subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-39281987396363351822011-07-04T09:27:00.001-07:002012-01-16T02:46:35.552-08:00ORGAN TUBUH<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Times Roman; font-size: small;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">Kumpulan
dari berbagai macam jaringan dan melaksanakan suatu tugas tertentu
akan membentuk organ. Derajat dari organisme ditentukan dari makin
beragamnya organ yang dimiliki.</span></span>
</div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Beberapa organ tubuh</span></div>
<a name='more'></a><div style="color: #999999;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>1.
USUS</b></span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Merupakan
bagian dari sistem pencernaan.</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Disusun
dari beberapa jaringan, susunan dari luar ke dalam adalah:</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">a.
Jaringan ikat serosa, fungsinya </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">untuk
menggantungkan usus ke organ lain<br />
b</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">.
Jaringan otot polos memanjang<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
c. Jaringan otot polos melingkar<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
d. Jaringan ikat longgar<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
e. Jaringan otot polos mukosa<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
f. Jaringan ikat longgar mukosa<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
g. Jaringan epitel silindris yang </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">merupakan
jaringan terdalam dari rongga usus</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Di
samping jaringan-jaringan tersebut di atas</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
terdapat juga jaringan-jaringan lain (jaringan saraf, jaringan
darah dan lain-lain) yang menunjang kerja usus.</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Gambar
1 :<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Susunan
umum organ saluran cerna (usus).</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Times Roman;"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">2.
TRAKEA/BATANG TENGGOROK</span></span></b></span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Merupakan
bagian dari sistem pernafasan.</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Trakea
disusun atas 3 lapis jaringan, dari luar ke dalam :</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">a.
Jaringan ikat padat<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
b. Jaringan rulang rawan dan jaringan otot polos<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
c. Jaringan epitel silindris berlapis banyak bersilia</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-size: small;"> </span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>SISTEM
ORGAN</b></span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Kumpulan
dari berbagai organ dan menjalankan tugas tertentu disebut sistem
organ.<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Sistem
organ yang terdapat dalam tubuh manusia antara lain</span></div>
<div style="color: #999999;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
1. SISTEM INTEGUMEN/KULIT<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
2. SISTEM PENCERNAAN<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
3. SISTEM SIRKULASI<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
4. SISTEM RESPIRASI/PERNAFASAN<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
5. SISTEM EKSKRESI<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
6. SISTEM REPRODUKSI<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
7. SISTEM KERANGKA<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
8. SISTEM OTOT<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
9. SISTEM SARAF<br />
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
10. SISTEM HORMON</span></div>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-50561876784211835052011-07-04T09:26:00.000-07:002012-01-16T02:47:45.355-08:00JARINGAN SARAF<div style="color: #cccccc;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: x-small;">J<span style="font-size: small;">aringan
saraf tersusun atas sel-sel saraf atau neuron. Tiap neuron/sel
saraf terdiri atas badan sel saraf, cabang </span></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">dendrit
dan cabang akson, cabang-cabang inilah yang menghubungkan tiap-tiap
sel saraf sehingga membentuk </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jaringan
saraf.</span></div>
<div align="center" style="color: #cccccc;">
<span style="font-size: small;"><img height="293" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Biologi/Image/2-1d.jpg" width="450" /></span></div>
<div align="center" style="color: #cccccc;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
</span> <span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
<i>Gbr. Sel saraf (neuron) dengan akson dan dendrit).</i></span></div>
<div align="left" style="color: #cccccc;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Terdapat
3 macam sel saraf</span></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" style="color: #cccccc;">
<tbody>
<tr valign="top">
<td width="5%"><div align="center">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>1.</b></span></div>
</td>
<td width="95%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>Sel
Saraf Sensorik<br />
</b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Berfungsi
menghantarkan rangsangan dari reseptor (penerima rangsangan)
ke sumsum tulang belakang.</span></td>
</tr>
<tr valign="top">
<td width="5%"><div align="center">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">2.</span></b></span></div>
</td>
<td width="95%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">Sel
Saraf Motorik<br />
</span></b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Berfungsi
menghantarkan impuls motorik dari susunan saraf pusat ke
efektor.</span></td>
</tr>
<tr valign="top">
<td width="5%"><div align="center">
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">3.</span></b></span></div>
</td>
<td width="95%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">Sel
Saraf Penghubung<br />
</span></b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Merupakan
penghubung sel saraf yang satu dengan sel saraf yang lain.</span></td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="color: #cccccc;">
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Sel
saraf mempunyai kemampuan iritabilitas dan konduktivitas.<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Iritabilitas
artinya kemampuan sel saraf untuk </span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">bereaksi
terhadap perubahan lingkungan. Konduktivitas artinya kemampuan
sel saraf untuk membawa impuls-</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">impuls
saraf.</span></div>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-17129119466394712252011-07-04T08:47:00.000-07:002012-01-16T02:49:50.956-08:00KLASIFIKASI JAMUR<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Jamur
merupakan tumbuhan yang tidak mempunyai klorofil sehingga bersifat
<b>heterotrof, tipe sel: sel eukarotik. </b>Jamur ada yang uniseluler
dan multiseluler. Tubuhnya terdiri dari benang-benang yang disebut
hifa, hifa dapat membentuk anyaman bercabang-cabang yang disebut
<b>miselium. </b>Reproduksi jamur, <b>ada yang dengan cara vegetatif
ada </b>pula dengan cara generatif.<br />
</span><br />
<a name='more'></a><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><br />
<b>JAMUR DIBAGI MENJADI 6 DIVISI :</b><br />
</span><br />
<table border="0"><tbody>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="4%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">1.</span></b></span></td>
<td valign="top" width="96%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>MYXOMYCOTINA</b>
(Jamur lendir)<b><br />
</b> • Myxomycotina merupakan jamur yang paling sederhana.<br />
• Mempunyai 2 fase hidup, yaitu:<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">-
fase vegetatif (fase lendir) yang dapat bergerak seperti
</span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">amuba,
disebut plasmodium <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">-
fase tubuh buah<br />
• Reproduksi : secara vegetatif dengan spora, yaitu
spora <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">kembara
yang disebut myxoflagelata. <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Contoh
spesies : <i>Physarum polycephalum</i></span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="4%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">2.</span></b></span></td>
<td valign="top" width="96%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>OOMYCOTINA</b><br />
• Tubuhnya terdiri atas benang/hifa tidak bersekat,
bercabang-cabang dan mengandung banyak inti.<br />
• Reproduksi:<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">-
Vegetatif : yang hidup di air dengan zoospora yang hidup
di <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">darat
dengan sporangium dan konidia.<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">-
Generatif : bersatunya gamet jantan dan betina membentuk
<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">oospora
yang selanjutnya tumbuh menjadi individu baru.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Contoh
spesies:<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i>a.
Saprolegnia sp. : </i>hidup saprofit pada bangkai ikan,
serangga <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">darat
maupun serangga air.<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><i>b.
Phytophora infestans: </i>penyebab penyakit busuk pada kentang.</span></td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="4%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">3.</span></b></span></td>
<td width="96%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>ZYGOMYCOTINA</b><br />
• Tubuh multiseluler.<br />
• Habitat umumnya di darat sebagai saprofit.<br />
• Hifa tidak bersekat.<b><br />
</b>• Reproduksi:<br />
</span><span style="font-size: small;">-
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Vegetatif:
dengan spora.<br />
</span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">-</span><span style="font-size: small;">
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Generatif:
dengan konyugasi hifa (+) dengan hlifa (-) akan </span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">menghasilkan
zigospora yang nantinya akan tumbuh menjadi <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">individu
baru.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Contoh spesies:<br />
a. <i><b>Mucor mucedo</b> : </i>biasa hidup di kotoran ternak
dan roti.<br />
b. <i><b>Rhizopus oligosporus </b>: </i>jamur tempe.</span><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="4%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">4.</span></b></span></td>
<td valign="top" width="96%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>ASCOMYCOTINA</b><br />
• Tubuh ada yang uniseluler dan ada yang multi se lul
er.<br />
• Ascomycotina, multiseluler, hifanya bersekat dan
berinti banyak.<br />
• Hidupnya: ada yang parasit, saprofit, ada yang bersimbiosis
<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">dengan
ganggang membentuk Lichenes (Lumut kerak).<br />
• Reproduksi:<br />
</span><span style="font-size: small;">-
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Vegetatif
: pada jamur uniseluler membentuk tunas-tunas, <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">pada
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">yang
multiseluler membentuk spora dari konidia.<br />
</span><span style="font-size: small;">-
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">Generatif:
<b>Membentuk askus </b>yang menghasilkan <b>askospora.</b></span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Contoh spesies:<br />
<b>1</b><i><b>. Sacharomyces cerevisae</b>:<br />
</i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">sehari-hari
dikenal sebagai ragi. <br />
</span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">-
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">berguna
untuk membuat bir,</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
roti maupun alkohol.<br />
</span><span style="font-size: small;"> -
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">mampu
mengubah glukosa menjadi alkohol dan CO2 dengan <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">proses
fermentasi. <i><br />
<b> 2. Neurospora sitophila:</b><br />
</i></span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jamur
oncom<i>.<br />
<b>3. Peniciliium noJaJum </b></i>dan <i><b>Penicillium
chrysogenum</b><br />
</i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">penghasil
antibiotika penisilin.<br />
<i><b>4. Penicillium camemberti </b></i>dan <i><b>Penicillium
roqueforti<br />
</b></i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">berguna
untuk mengharumkan keju.<br />
<i><b>5. Aspergillus oryzae </b></i><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">untuk
membuat sake dan kecap.<br />
<i><b>6. Aspergillus wentii </b></i><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">untuk
membuat kecap<br />
<i><b>7. Aspergillus </b></i><b>flavus</b> <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">menghasilkan
racun <b>aflatoksin </b><span style="font-family: Symbol;">Þ</span>
hidup pada biji-bijian. </span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><img height="8" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="15" /></span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><img height="8" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="15" /></span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><img height="8" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="15" /></span><span style="color: black; font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><img height="8" src="http://abba.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/image/putih%203x3.gif" width="15" /></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">flatoksin
salah satu penyebab kanker hati. <br />
<i><b>8. Claviceps purpurea </b></i><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">hidup
sebagai parasit padabakal buah Gramineae. </span><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="4%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;"> 5.</span></b></span></td>
<td valign="top" width="96%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>BASIDIOMYCOTINA</b><br />
• Ciri khasnya alat repoduksi generatifnya berupa basidium
sebagai<br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">badan
penghasil spora.<br />
• Kebanyalcan anggota spesies berukuran makroskopik.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Contoh spesies:<br />
<i><b>1. Volvariella volvacea :</b><br />
</i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jamur
merang, dapat dimakan dan sudah dibudidayakan<br />
<i><b>2. Auricularia polytricha :<br />
</b></i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jamur
kuping, dapat dimakan dan sudah dibudidayakan<br />
<i><b>3. Exobasidium vexans : </b></i><br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">parasit
pada pohon teh penyebab penyakit cacar daun teh atau <br />
</span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>blister
blight. </b> <br />
<i><b>4. Amanita muscaria </b></i>dan <i><b>Amanita phalloides:
</b><br />
</i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jamur
beracun, habitat di daerah subtropis<br />
<i><b>5. Ustilago maydis :</b><br />
</i></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jamur
api, parasit pada jagung.<br />
<i><b>6. Puccinia graminis : </b></i><b><br />
</b></span><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">jamur
karat, parasit pada gandum</span><br />
</td>
</tr>
<tr>
<td align="center" valign="top" width="4%"><span style="font-size: small;"><b><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif;">6.</span></b></span></td>
<td valign="top" width="96%"><span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>DEUTEROMYCOTIN</b><br />
Nama lainnya <b>Fungi Imperfecti </b>(jamur tidak sempurna)
dinamakan demikian karena pada jamur ini belum diketahui
dengan pasti cara pembiakan secara generatif.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Contoh : Jamur Oncom sebelum diketahui pembiakan generatifnya
dinamakan <i><b>Monilia sitophila </b></i>tetapi setelah
diketahui pembiakan generatifnya yang berupa <b>askus </b>namanya
diganti menjadi <b><i>Neurospora sitophila </i></b>dimasukkan
ke dalam Ascomycotina.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Banyak penyakit kulit karena jamur (dermatomikosis) disebabkan
oleh jamur dari golongan ini, misalnya :<b><i>Epidermophyton
fluocosum </i></b>penyebab penyakit kaki atlit, <i><b>Microsporum
sp.</b>, <b>Trichophyton sp. </b></i>penyebab penyakit kurap.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;"><b>MIKORHIZA<br />
</b>Mikorhiza adalah simbiosis antara jamur dengan tumbuhan
tingkat tinggi, jamur yang dari Divisio Zygomycotina, Ascomycotina
dan Basidiomycotina.<br />
<br />
<b>LICHENES / LIKENES</b><br />
Likenes adalah simbiosis antara ganggang dengan jamur, ganggangnya
berasal dari ganggang hijau atau ganggang biru, jamurnya
berasal dari Ascomycotina atau Basidiomycotina. Likenes
tergolong tumbuhan pionir/vegetasi perintis karena mampu
hidup di tempat-tempat yang ekstrim.</span><br />
<span style="font-family: Verdana,Arial,Helvetica,sans-serif; font-size: small;">
Contoh :<br />
<i>• <b>Usnea dasypoga<br />
</b>• <b>Parmelia acetabularis</b></i></span></td></tr>
</tbody></table>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-90890561122294313522011-07-04T08:33:00.000-07:002011-07-04T08:33:24.546-07:00JENIS-JENIS LIMBAHIstilah <i>"limbah"</i> mungkin lebih kita kenal dengan sebutan sampah, yang selama ini sering menjadi masalah.<span class="fullpost">
</span><br />
<br />
<div>
Limbah sendiri dapat didefinisikan sebagai suatu barang / materi (
padat, cair maupun gas ) yang sudah tidak digunakan karena nilai /
fungsinya menurun atau bahkan sudah tidak memiliki fungsi lagi.</div>
<div>
Keberadaan limbah dalam suatu lingkungan ( daratan, udara maupun
perairan ) menjadi salah satu komponen yang menyebabkan polusi atau
pencemaran lingkungan.</div>
<div>
Secara umum, limbah / sampah dibedakan menjadi :</div>
<div style="text-align: left;">
<ol style="text-align: left;">
<li><b>Limbah organik</b>, yakni limbah yang berasal dari sisa-sisa
bagian tubuh mahkluk hidup . Limbah jenis ini biasanya sangat mudah/
cepat terurai terurai secara alami oleh mikroorganisme seperti jamur,
bacteri maupun protozoa tertentu. Yang termasuk dalam golongan limbah
organik antara lain : sisa tumbuhan ( seperti akar, batang daun, buah ),
bangkai hewan, kotoran hewan, minyak goreng, juga termasuk kertas.</li>
<li><b>Limbah anorganik,</b> yakni limbah yang berasal benda-benda mati.
Limbah jenis ini biasanya sangat sulit, butuh waktu yang sangat lama
untuk terurai secara alami. Yang termasuk dalam golongan limbah
oanorganik antara lain : kaca, plastik, besi, alumunium, timah dan
lain-lainnya.</li>
<li><b>Limbah berbahaya</b>, yakni limbah yang berasal dari berbagai
bahan kimia, umumnya yang bersifat sebagai racun bagi kehidupan. Yang
termasuk dalam golongan limbah berbahaya antara lain : sisa / residu
pestisida, tumpahan minyak bumi, batu baterei bekas, oli bekas dan
sejenisnya. Limbah jenis ini juga dikenal dengan sebutan limbah B3.</li>
</ol>
Apapun jenis limbahnya, pada prinsipnya semua berbahaya bagi lingkungan
dan kehidupan manakala jumlah / kadarnya dalam lingkungan melebihi batas
toleransi. Satu contoh , limbah organik yang berasal dari kotoran hewan
( bisa terurai ) dengan jumlah yang melebihi kemampuan batas suatu
lingkungan maka akan tetap menimbulkan masalah bagi lingkungan dan
kehidupan.</div>
<div style="text-align: left;">
Sehingga perlu adanya upaya nyata untuk mengelola limbah-limbah tersebut
menjadi sesuatu yang minimal tidak mengganggu kehidupan.</div>
subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-5272883782926102582011-07-04T08:31:00.000-07:002011-07-24T06:39:39.752-07:00MACAM HORMON DAN FUNGSINYA<span class="fullpost">Dalam sistem endokrin, kelenjar hipofisis
merupakan koordinator utama dalam proses koordinasi kimia di dalam
tubuh. Oleh sebab itu, kelenjar hipofisis ini mendapat julukan " master
of glands ". </span><br />
<span class="fullpost">Lokasi kelenjar ini tepat di dalam lekukan tulang sela tursika di bagian tengah tulang baji.</span><br />
<span class="fullpost">Secara garis besar, kelenjar hipofisis terbagi
menjadi 3 lobus ( bagian ), yaitu : lobus anterior, lobus intermedia,
dan lobus posterior.</span><br />
<br />
<a name='more'></a><br /><br />
<b><span class="fullpost">Lobus anterior</span></b><br />
<br />
<div style="text-align: left;">
<span class="fullpost">Merupakan bagian depan hipofisis. Bagian ini
menghasilkan berbagai macam hormon dengan fungsi yang berbeda. Beberapa
hormon yang dihasilkan oleh lobus anterior, antara lain :</span></div>
<a href="http://draft.blogger.com/blogger.g?blogID=2779974090513353111" name="more"></a><br />
<ol style="text-align: left;">
<li><b>hormon tirotropin </b>( <i>Thyroid Stimulating Hormone</i> ) yang bertugas untuk merangsang kelenjar tiroid sehingga memproduksi hormon tiroksin</li>
<li><b>hormon adrenokortiko tropin</b> ( ACTH ) yang berfungsi merangsang korteks adrenal untuk memproduksi kortikosteroid</li>
<li><b>Folikel stimulating hormone</b> yang pada wanita berperan dalam
merangsang perkembangan ovarium dan menekan sekresi esterogen. Sedangkan
pada pria berperan menstimulasi testis untuk memproduksi spermatozoa.</li>
<li><b>Hormon somatotrof</b>, berguna dalam merangsang pertumbuhan tubuh terutama pemanjangan tulang.</li>
<li><b>Prolaktin</b> ( luteotropic hormon ) atau laktogen, yang berperan dalam menstimulasi kelenjar susu ( glandulla mammae ) untuk mensekresi ASI.</li>
</ol>
<b>Lobus Intermedia</b><br />
merupakan bagian tengah dari kelenjar hipofisis yang bersifat unik
karena bagian ini akan mengalami kemunduran ( rudimenter ) selama masa
pertumbuhan dan belum secara jelas diketahui fungsinya. Penelitian yang
dilakukan pada katak menemukan bahwa bagian ini menghasilkan <i>melanosit stimulating hormon</i>e atau <i>intermedin </i>yang berperan dalam mengatur pigmentasi ( perubahan warna kulit ) dalam hal ini mengatur penyuburan pigmen melanin.<br />
<br />
<b>Lobus Posterior</b><br />
Merupakan bagian belakang dari kelenjar hipofisis. Bagian ini menghasilkan dua jenis hormon, yaitu :<br />
<ol style="text-align: left;">
<li><b>Antidiuretik Hormone</b> atau hormon vasopresin. Hormon ini
berfungsi dalam : mengatur kadar air dalam tubuh dan darah melalui
absorbsi air oleh tubulus kontorti ( pada ginjal ) sehingga dapat
mengatur banyak sedikitnya jumlah urine yang dihasilkan.Selain itu juga
ikut berperan dalam mengatur tekanan darah.</li>
<li><b>Hormon oksitosin</b> yang berfungsi merangsang kontraksi otot polos pada dinding uterus. Terutama penting dalam proses persalinan.</li>
</ol>
subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-38129496196917661862011-07-04T08:29:00.000-07:002011-07-04T08:29:14.363-07:00EKOSISTEM<div dir="ltr" style="text-align: left;">
<div style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Di alam akan selalu
terjadi interaksi ( hubungan timbal balik ) antara makhluk hidup <a href="" id="Y6040196S7" style="color: #000fff; text-decoration: underline;">dengan</a>
lingkungannya pada suatu kondisi tertentu. Interaksi ini membentuk suatu <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">ekosistem</b>.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Sebuah ekosistem tersusun atas dua komponen
utama, yaitu :</span></div>
<ol start="1" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="color: black; mso-list: l2 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;"><span style="font-size: 10pt;">Komponen
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Biotik</b>, yang terdiri dari semua
makhluk hidup ( hewan, tumbuhan, jamur, bacteri, protista ).</span><span style="color: black; font-size: 10pt;">Masing-masing komponen
memiliki fungsi / kedudukan / nichia tertentu , misalnya : </span><br />
<span style="color: black; font-size: 10pt;">-<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-size: 7pt; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="color: black; font-size: 10pt;">tumbuhan berfungsi sebagai <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">produsen</b>, </span><br />
<span style="color: black; font-size: 10pt;">-<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-size: 7pt; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="color: black; font-size: 10pt;">hewan sebagai <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">konsumen</b>
dan beberapa jenis hewan tertentu ( spt : cacing, semut, rayap kelabang dll )
berfungsi sebagai <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">detritivor </b>(
penghancur ), </span><br />
<span style="color: black; font-size: 10pt;">-<span style="-moz-font-feature-settings: normal; -moz-font-language-override: normal; font-size-adjust: none; font-size: 7pt; font-stretch: normal; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;">
</span></span><span style="color: black; font-size: 10pt;">bacteri, jamur sebagai <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">decomposer</b>
( pengurai )</span><br />
<a href="" name="more"></a></li>
</ol>
<ol start="2" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="color: black; mso-list: l2 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;"><span style="font-size: 10pt;">Komponen
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Abiotik, </b>terdiri atas semua
benda mati seperti : suhu, cahaya, kelembaban, tanah, air, udara ( gas oksigen,
karbondioksida, nitrogen dll ), zat hara, salinitas ( kadar garam ) dll.<a name='more'></a></span></li>
</ol>
<div style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Antara kedua komponen
tersebut membentuk sebuah interaksi , misalnya : suhu akan mempengaruhi
aktivitas dan penyebaran hewan, cahaya penting bagi tumbuhan untuk fotosintesis
bersama-sama dengan CO<sub>2</sub> dan pertumbuhan, oksigen untuk respirasi dan
lain-lain.</span><span style="color: black; font-size: 10pt;"> </span></div>
<div style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
</div>
<div style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Sementara itu, antar
komponen biotic juga terjadi interaksi. Perhatikan tabel berikut ini !</span>
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 10pt;">Tabel.</span></b><span style="color: black; font-size: 10pt;"> Macam interaksi antar
species / individu makhluk hidup</span></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: medium none; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<tbody>
<tr style="mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td rowspan="2" style="background: white; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
</div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 9pt;">NO</span></b></div>
</td>
<td rowspan="2" style="background: white; border-left: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 9pt;">MACAM INTERAKSI</span></b></div>
</td>
<td colspan="2" style="background: white; border-left: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 9pt;">INDIVIDU</span></b></div>
</td>
<td rowspan="2" style="background: white; border-left: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
</div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 9pt;">KETERANGAN</span></b></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 1;">
<td style="background: white; border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 10pt;">I</span></b></div>
</td>
<td style="background: white; border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: black; font-size: 10pt;">II</span></b></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 2;">
<td style="border-top: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">1.</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Kompetisi</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">--</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">--</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Terjadi persaingan dalam memperoleh kebutuhan
hidup (makanan), Populasi yang kalah akan keluar dari nichia.</span></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 3;">
<td style="border-top: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">2.</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Protokooperasi</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Kedua belah pihak mendapatkan keuntungan</span></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 4;">
<td style="border-top: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">3.</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Mutualisme</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Merupakan keharusan bagi kedua belah pihak</span></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 5;">
<td style="border-top: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">4.</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Komensalisme</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">0</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Keharusan bagi individu I , individu II tidak
terpengaruh</span></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 6;">
<td style="border-top: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">5.</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Parasitisme</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">--</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Keharusan bagi individu I, individu II
terganggu/terhambat</span></div>
</td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 7; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="border-top: none; border: solid #333333 1.0pt; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 26.7pt;" valign="top" width="36"><div align="right" class="MsoNormal" style="text-align: right;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">6.</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.7pt;" valign="top" width="104"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Predasi</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">+</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 36.0pt;" valign="top" width="48"><div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">--</span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid #333333 1.0pt; border-left: none; border-right: solid #333333 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-left-alt: solid #333333 .5pt; mso-border-top-alt: solid #333333 .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 234.0pt;" valign="top" width="312"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 9pt;">Keharusan bagi individu I, individu II
terganggu</span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Di dalam ekosistem,
energi mengalir dan mengalami perubahan. Fenomena ini dikenal dengan nama
aliran energi, yang berarti perpindahan materi kimia dari produsen ke konsumen.
Materi akan kembali ke lingkungan pada saat komponen biotic mati. Aliran ini
berlangsung melalui proses makan memakan yang lebih dikenal dengan istilah <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">rantai makanan</b>. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Struktur tropi suatu ekosistem dapat disajikan
dalam bentuk piramida ekologi. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Ada
3 macam piramida ekologi, yaitu: </span></div>
<ul style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; text-align: left;">
<li><span style="color: black; font-size: 10pt;">piramida jumlah, </span></li>
<li><span style="color: black; font-size: 10pt;">piramida biomass </span></li>
<li><span style="color: black; font-size: 10pt;">piramida energi</span></li>
</ul>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;"><tbody>
<tr style="mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;"><td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 104.2pt;" valign="top" width="139"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 54.2pt;" valign="top" width="72"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 63.0pt;" valign="top" width="84"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 96.4pt;" valign="top" width="129"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 52.15pt;" valign="top" width="70"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 52.15pt;" valign="top" width="70"><br /></td>
</tr>
<tr style="mso-yfti-irow: 1; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 104.2pt;" valign="top" width="139"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 54.2pt;" valign="top" width="72"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 63.0pt;" valign="top" width="84"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 96.4pt;" valign="top" width="129"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 52.15pt;" valign="top" width="70"><br /></td>
<td style="padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 52.15pt;" valign="top" width="70"><br /></td>
</tr>
</tbody></table>
<div style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Pada aliran energi,
setiap <a href="" id="Y6040196S6" style="color: #000fff; text-decoration: underline;">organisme</a> memasukkan dan menyimpan energi dalam suatu ekosistem. Inin
disebut sebagai Produktivitas ekosistem. Ada
2 macam , yaitu :</span>
</div>
<ol start="1" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="color: black; mso-list: l0 level1 lfo3; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-size: 10pt;">Produktivitas primer</span></b><span style="font-size: 10pt;"> . yaitu kecepatan mengubah
energi cahaya menjadi energi kimia dalam bentuk zzat organic oelh
organisme autotrof ( produsen )</span></li>
</ol>
<div class="MsoNormal" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; margin-left: 36pt; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Seluruh bahan organic
hasil sintesis disebut <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Produktivitas
Primer Kotor</b> ( <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">PPK</b> ), sedang
bahan organic yang tersimpan di dalam tubuh organisme autotro disebut <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">Produktivas Primer Bersih</b> ( <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">PPB</b> )</span></div>
<ol start="2" style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif; margin-top: 0cm;" type="1">
<li class="MsoNormal" style="color: black; mso-list: l0 level1 lfo3; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;"><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="font-size: 10pt;">Produktivitas Sekunder</span></b><span style="font-size: 10pt;">, kecepatan mengubah bahan
organic menjadi simpanan energi kimia baru oleh organisme heterotrop. Pada
setiap <a href="" id="Y6040196S5" style="color: #000fff; text-decoration: underline;">transfer</a> energi dari konsumen I ke konsumen II dan seterusnya akan
terjadi pengurangan energi.</span></li>
</ol>
<div style="font-family: Arial,Helvetica,sans-serif;">
<span style="color: black; font-size: 10pt;">Senyawa Kimia yang
berpindah melalui organisme ( rantai makanan ) akan kembali ke lingkungan
abiotik secara terus menerus. Pertukaran atau perubahan ini disebut dengan
istilah <b style="mso-bidi-font-weight: normal;">daur biogeokimia</b>.
Unsur-unsur kimia yang mengalamai daur ini, antara lain : nitrogen ( N<sub>2</sub>
), karbon ( CO<sub>2</sub> ), sulfur (SO<sub>4</sub> ), fosfor ( ATP ataupun PO<sub>4</sub><sup>3-</sup>
), dan air ( H<sub>2</sub>O ). Unsur-unsur tersebut selalu dan secara terus
menerus mengalami siklus, misalnya : CO<sub>2</sub> dari lingkungan abiotic
diserap tumbuhan untuk fotosintesis membentuk karbohidrat ( C<sub>6</sub>H<sub>12</sub>O<sub>6</sub>
) dan oksigen ( O<sub>2</sub> ) dilepas ke lingkungan.Di udara, Oksigen diserap oleh makluk hidup untuk
respirasi, menguraikan karbohidrat menjadi H<sub>2</sub>O, CO<sub>2</sub> yang
dilepaskan ke lingkungan dan ATP.</span>
</div>
</div>
subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-70802545378577805972011-06-16T09:02:00.000-07:002011-06-16T09:03:24.598-07:00SENYAWA KOVALEN<span class="Apple-style-span" style="border-collapse: separate; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: 2; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="color: #333333; font-family: Georgia,serif; font-size: 13px; line-height: 20px; text-align: left;"><div>
<span style="color: #3333ff;">Senyawa kovalen Polar</span><br />Suatu ikatan kovalen disebut polar, jika Pasangan Elektron Ikatan (PEI) tertarik lebih kuat ke salah 1 atom.<br />kepolaran suatu ikatan kovalen disebabkan oleh adanya perbedaan keelektronegatifan antara atom-atom yang berikatan.<br />Contohnya molekul HCl<br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSCLPd02cThGSvjHEEu7VmisrOl9ZkSboqlduS4SQpLCjyi-t7QZcBKI7UkjJUyTbUIXJR9p5svUpnLAe5V8EpO6T8Pv8x3fUE6688cXnD9e5Qf8zgBL9mjw_2LNWIhAgB1wGkUvRHb3v4/s1600-h/HCl+t.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" style="color: #336688; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379691276218104322" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSCLPd02cThGSvjHEEu7VmisrOl9ZkSboqlduS4SQpLCjyi-t7QZcBKI7UkjJUyTbUIXJR9p5svUpnLAe5V8EpO6T8Pv8x3fUE6688cXnD9e5Qf8zgBL9mjw_2LNWIhAgB1wGkUvRHb3v4/s200/HCl+t.gif" style="border: 1px solid rgb(204, 221, 238); cursor: pointer; height: 47px; padding: 4px; width: 92px;" /></a><br /><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtrnl-7m1cvUGCw1iSl2B5o5LLDkRGSeFtrBiYQnR8Pi9V4u_wH8Im2w2auqxB8IyO7kpZKmYMrHN_WTU3wn7MsirNNN11pq2hsuMRUJsKY3QEBWWKdRhkXCC33X1y9zy6fVGg-oPC98el/s1600-h/Slide1.GIF" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" style="color: #336688; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5379691791413101282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgtrnl-7m1cvUGCw1iSl2B5o5LLDkRGSeFtrBiYQnR8Pi9V4u_wH8Im2w2auqxB8IyO7kpZKmYMrHN_WTU3wn7MsirNNN11pq2hsuMRUJsKY3QEBWWKdRhkXCC33X1y9zy6fVGg-oPC98el/s200/Slide1.GIF" style="border: 1px solid rgb(204, 221, 238); cursor: pointer; height: 127px; padding: 4px; width: 155px;" /></a><br /><br />Meskipun atom H dan Cl sama-sama menarik pasangan elektron, tetapi keelektronegatifan Cl lebih besar daripada atom H.<br />Akibatnya atom Cl menarik pasangan elektron ikatan (PEI) lebih kuat daripada atom H sehingga letak PEI lebih dekat ke arah Cl (akibatnya terjadi semacam kutub dalam molekul HCl).<br /><span style="font-style: italic;">Ciri-ciri senyawa kovalen bersifat polar bila :</span><br />1.Berbentuk tidak simetris<br />cont. H2O dan NH3<br /><br />2. Mempunyai momen dipol<br />Momen Dipol ( µ )<br />Adalah suatu besaran yang digunakan untuk menyatakan kepolaran suatu ikatan kovalen.<br />Dirumuskan :<br />µ = Q x r ; 1 D = 3,33 x 10<sup>-30</sup><span class="Apple-converted-space"> </span>C.m<br />keterangan :<br />µ = momen dipol, satuannya debye (D)<br />Q = selisih muatan, satuannya coulomb (C)<br />r = jarak antara muatan positif dengan muatan negatif, satuannya meter (m)<br />Momen dipol terjadi karena senyawa kovalen terbentuk dari 2 atom dengan keelektronegatifan berbeda<br />Cont.HCl,HBr<br /><br /><span style="color: #3333ff;">Senyawa Kovalen Non Polar</span><br />Suatu ikatan kovalen dikatakan non polar (tidak berkutub), jika PEI tertarik sama kuat ke semua atom.<br />Karena atom-atom dari unsur sejenis mempunyai harga keelektronegatifan yang sama.<br />Akibatnya muatan dari elektron tersebar secara merata sehingga tidak terbentuk kutub.<br />Cont: H2,Cl2,N2,O2</div>
<div>
<br /><span style="color: #3366ff;">Ciri-ciri senyawa kovalen non polar</span><br />1. Berbentuk simetris<br /> Misalnya senyawa<br /> CH4, CCl4, BF3, BeCl2<br />2. Tidak mempunyai momen dipol<br />Cont.CH4,CCl4,CBr4</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJHW8EYdY5G_D6dDx0uLGM-h1DD0tbkFAKcm706QiG0ZpKz00AOMOo8DOx8tHq6Ysw7NCfDkQDoPbtXh8rrBvbE8qMKQ3XrSqtuwKAfyXL564XyO1DXCQVfgXSto_WKnlIbWU2UgWUfauY/s1600-h/momendipol.gif" style="color: #336688; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5389323355414249634" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJHW8EYdY5G_D6dDx0uLGM-h1DD0tbkFAKcm706QiG0ZpKz00AOMOo8DOx8tHq6Ysw7NCfDkQDoPbtXh8rrBvbE8qMKQ3XrSqtuwKAfyXL564XyO1DXCQVfgXSto_WKnlIbWU2UgWUfauY/s320/momendipol.gif" style="border: 1px solid rgb(204, 221, 238); height: 258px; padding: 4px; width: 320px;" /></a></span></span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-82938473273529689942011-06-16T08:56:00.000-07:002011-06-16T08:57:16.329-07:00ATURAN OKTET<span class="Apple-style-span" style="border-collapse: separate; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: small; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: 2; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="color: #333333; font-family: Georgia,serif; font-size: 13px; line-height: 20px; text-align: left;"><span style="color: #3333ff;">1). Pengecualian Aturan Oktet</span><br />a) Senyawa yang tidak mencapai aturan oktet<br />Meliputi senyawa kovalen biner sederhana dari Be, B dan Al yaitu atom-atom yang elektron valensinya kurang dari empat (4).<br />Contoh : BeCl2, BCl3 dan AlBr3<br />b) Senyawa dengan jumlah elektron valensi ganjil<br />Contohnya : NO2 mempunyai jumlah elektron valensi (5 + 6 + 6) = 17<br /><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirfDhvU7c72_L6WhZlreCOa6FEta56B_5k7hah6Z-Wts00iyp-FzoPxcO3DSF4dpJ-f4FU7wR-cI_OroVlwmM4AxrwQpg9hnF0FBsseB1ulCwVw7psJgc97MLGRWjseiaE1X9ngCF66cHK/s1600-h/no2.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" style="color: #336688; text-decoration: none;"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5403839257075691730" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirfDhvU7c72_L6WhZlreCOa6FEta56B_5k7hah6Z-Wts00iyp-FzoPxcO3DSF4dpJ-f4FU7wR-cI_OroVlwmM4AxrwQpg9hnF0FBsseB1ulCwVw7psJgc97MLGRWjseiaE1X9ngCF66cHK/s200/no2.gif" style="border: 1px solid rgb(204, 221, 238); cursor: pointer; height: 138px; padding: 4px; width: 121px;" /></a><br /><br />c) Senyawa dengan oktet berkembang<br />Unsur-unsur periode 3 atau lebih dapat membentuk senyawa yang melampaui aturan oktet / lebih dari 8 elektron pada kulit terluar (karena kulit terluarnya M, N dst dapat menampung 18 elektron atau lebih).<br />Contohnya : PCl5, SF6, ClF3, IF7 dan SbCl5<br /><br /><br /><span style="color: #3333ff;">2). Kegagalan Aturan Oktet</span><br />Aturan oktet gagal meramalkan rumus kimia senyawa dari unsur transisi maupun post transisi.<br />Contoh :<br />-atom Sn mempunyai 4 elektron valensi tetapi senyawanya lebih banyak dengan tingkat oksidasi +2<div style="text-align: justify;">
-atom Bi mempunyai 5 elektron valensi tetapi senyawanya lebih banyak dengan tingkat oksidasi +1 dan +3</div>
<br />Penyimpangan dari Aturan Oktet dapat berupa :<br />1) Tidak mencapai oktet<br />2) Melampaui oktet ( oktet berkembang )<br /><br /><br /><span style="color: #3333ff;">Penulisan Struktur Lewis</span><br />Langkah-langkahnya :<br />1) Semua elektron valensi harus muncul dalam struktur Lewis<br />2) Semua elektron dalam struktur Lewis umumnya berpasangan<br />3) Semua atom umumnya mencapai konfigurasi oktet (khusus untuk H, duplet)<br />4) Kadang-kadang terdapat ikatan rangkap 2 atau 3 (umumnya ikatan rangkap 2 atau 3 hanya dibentuk oleh atom C, N, O, P dan S)<br /><br /><span style="color: #3333ff;">Langkah alternatif<span class="Apple-converted-space"> </span></span>: ( syarat utama : kerangka molekul / ion sudah diketahui )<br />1) Hitung jumlah elektron valensi dari semua atom dalam molekul / ion<br />2) Berikan masing-masing sepasang elektron untuk setiap ikatan<br />3) Sisa elektron digunakan untuk membuat semua atom terminal mencapai oktet<br />4) Tambahkan sisa elektron (jika masih ada), kepada atom pusat<br />5) Jika atom pusat belum oktet, tarik PEB dari atom terminal untuk membentuk ikatan rangkap dengan atom pusat</span></span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-23055266325451565772011-06-16T08:49:00.000-07:002011-06-16T08:51:23.740-07:00KIMIA {SISTEM KOLOID}<span class="Apple-style-span" style="border-collapse: separate; color: black; font-family: sans-serif; font-size: 16px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: 2; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: 2; word-spacing: 0px;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: 13px; line-height: 19px;"><div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
<b>Sistem koloid</b><span class="Apple-converted-space"> </span>(selanjutnya disingkat "koloid" saja) merupakan suatu bentuk campuran (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sistem_dispersi&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Sistem dispersi (halaman belum tersedia)">sistem dispersi</a>) dua atau lebih zat yang bersifat homogen namun memiliki ukuran partikel terdispersi yang cukup besar (<a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=1_-_100_nm&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="1 - 100 nm (halaman belum tersedia)">1 - 100 nm</a>), sehingga terkena<span class="Apple-converted-space"> </span><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Efek_Tyndall&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Efek Tyndall (halaman belum tersedia)">efek Tyndall</a>. Bersifat homogen berarti partikel terdispersi tidak terpengaruh oleh<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gaya" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Gaya">gaya</a><span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gravitasi" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Gravitasi">gravitasi</a><span class="Apple-converted-space"> </span>atau gaya lain yang dikenakan kepadanya; sehingga tidak terjadi pengendapan, misalnya. Sifat homogen ini juga dimiliki oleh<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Larutan" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Larutan">larutan</a>, namun tidak dimiliki oleh campuran biasa (<a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Suspensi" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Suspensi">suspensi</a>).</div>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Koloid mudah dijumpai di mana-mana:<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Susu" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Susu">susu</a>,<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Agar-agar" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Agar-agar">agar-agar</a>,<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Tinta" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Tinta">tinta</a>,<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sampo" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Sampo">sampo</a>, serta<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Awan" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Awan">awan</a><span class="Apple-converted-space"> </span>merupakan contoh-contoh koloid yang dapat dijumpai sehari-hari.<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sitoplasma" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Sitoplasma">Sitoplasma</a><span class="Apple-converted-space"> </span>dalam<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Sel_%28biologi%29" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Sel (biologi)">sel</a><span class="Apple-converted-space"> </span>juga merupakan sistem koloid.<span class="Apple-converted-space"> </span><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Kimia_koloid&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Kimia koloid (halaman belum tersedia)">Kimia koloid</a><span class="Apple-converted-space"> </span>menjadi kajian tersendiri dalam<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Kimia" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Kimia">kimia</a><span class="Apple-converted-space"> </span>industri karena kepentingannya.</div>
<a name='more'></a><br />
<h2 style="background-image: none; border-bottom: 1px solid rgb(170, 170, 170); color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;">
<span class="editsection" style="float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;"></span><span class="mw-headline" id="Macam-macam_koloid">Macam-macam koloid</span></h2>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Koloid memiliki bentuk bermacam-macam, tergantung dari<span class="Apple-converted-space"> </span><a class="mw-redirect" href="http://id.wikipedia.org/wiki/Fasa" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Fasa">fasa</a><span class="Apple-converted-space"> </span>zat pendispersi dan zat terdispersinya. Beberapa jenis koloid:</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Aerosol" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Aerosol">Aerosol</a><span class="Apple-converted-space"> </span>yang memiliki zat pendispersi berupa gas. Aerosol yang memiliki zat terdispersi cair disebut aerosol cair (contoh: kabut dan awan) sedangkan yang memiliki zat terdispersi padat disebut aerosol padat (contoh: asap dan debu dalam udara).</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><a class="new" href="http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Sol&action=edit&redlink=1" style="background-image: none; color: #ba0000; text-decoration: none;" title="Sol (halaman belum tersedia)">Sol</a><span class="Apple-converted-space"> </span>Sistem koloid dari partikel padat yang terdispersi dalam zat cair. (Contoh: Air sungai, sol sabun, sol detergen dan tinta).</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Emulsi" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Emulsi">Emulsi</a><span class="Apple-converted-space"> </span>Sistem koloid dari zat cair yang terdispersi dalam zat cair lain, namun kedua zat cair itu tidak saling melarutkan. (Contoh: santan, susu, mayonaise, dan minyak ikan).</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Buih" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Buih">Buih</a><span class="Apple-converted-space"> </span>Sistem Koloid dari gas yang terdispersi dalam zat cair. (Contoh: pada pengolahan bijih logam, alat pemadam kebakaran, kosmetik dan lainnya).</li>
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/Gel" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="Gel">Gel</a><span class="Apple-converted-space"> </span>sistem koloid kaku atau setengah padat dan setengah cair. (Contoh: agar-agar, Lem, kanji dan Gel silika).</li>
</ul>
<h2 style="background-image: none; border-bottom: 1px solid rgb(170, 170, 170); color: black; font-size: 19px; font-weight: normal; margin: 0px 0px 0.6em; overflow: hidden; padding-bottom: 0.17em; padding-top: 0.5em; width: auto;">
<span class="editsection" style="float: right; font-size: 13px; margin-left: 5px;"></span><span class="mw-headline" id="Sifat-sifat_Koloid">Sifat-sifat Koloid</span></h2>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Efek Tyndall</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
<b>Efek Tyndall</b><span class="Apple-converted-space"> </span>ialah gejala penghamburan berkas sinar (cahaya) oleh partikel-partikel koloid. Hal ini disebabkan karena ukuran molekul koloid yang cukup besar. Efek tyndall ini ditemukan oleh<span class="Apple-converted-space"> </span><a href="http://id.wikipedia.org/wiki/John_Tyndall" style="background-image: none; color: #0645ad; text-decoration: none;" title="John Tyndall">John Tyndall</a><span class="Apple-converted-space"> </span>(1820-1893), seorang ahli fisika Inggris. Oleh karena itu sifat itu disebut efek tyndall.</div>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Efek tyndall adalah efek yang terjadi jika suatu larutan terkena sinar. Pada saat larutan sejati disinari dengan cahaya, maka larutan tersebut tidak akan menghamburkan cahaya, sedangkan pada sistem koloid, cahaya akan dihamburkan. hal itu terjadi karena partikel-partikel koloid mempunyai partikel-partikel yang relatif besar untuk dapat menghamburkan sinar tersebut. Sebaliknya, pada larutan sejati, partikel-partikelnya relatif kecil sehingga hamburan yang terjadi hanya sedikit dan sangat sulit diamati.</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Gerak Brown</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
<b>Gerak Brown</b><span class="Apple-converted-space"> </span>ialah gerakan partikel-partikel koloid yang senantiasa bergerak lurus tapi tidak menentu (gerak acak/tidak beraturan). Jika kita amati koloid dibawah mikroskop ultra, maka kita akan melihat bahwa partikel-partikel tersebut akan bergerak membentuk zigzag. Pergerakan zigzag ini dinamakan gerak Brown. Partikel-partikel suatu zat senantiasa bergerak. Gerakan tersebut dapat bersifat acak seperti pada zat cair dan gas( dinamakan gerak brown), sedangkan pada zat padat hanya<span class="Apple-converted-space"> </span><i>beroszillasi di tempat</i><span class="Apple-converted-space"> </span>( tidak termasuk gerak brown ). Untuk koloid dengan medium pendispersi zat cair atau gas, pergerakan partikel-partikel akan menghasilkan tumbukan dengan partikel-partikel koloid itu sendiri. Tumbukan tersebut berlangsung dari segala arah. Oleh karena ukuran partikel cukup kecil, maka tumbukan yang terjadi cenderung tidak seimbang. Sehingga terdapat suatu resultan tumbukan yang menyebabkan perubahan arah gerak partikel sehingga terjadi gerak zigzag atau gerak Brown.</div>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Semakin kecil ukuran partikel koloid, semakin cepat gerak Brown yang terjadi. Demikian pula, semakin besar ukuran partikel koloid, semakin lambat gerak Brown yang terjadi. Hal ini menjelaskan mengapa gerak Brown sulit diamati dalam larutan dan tidak ditemukan dalam campuran heterogen zat cair dengan zat padat (suspensi). Gerak Brown juga dipengaruhi oleh suhu.<span class="Apple-converted-space"> </span><b>Semakin tinggi suhu sistem koloid, maka semakin besar energi kinetik yang dimiliki partikel-partikel medium pendispersinya. Akibatnya, gerak Brown dari partikel-partikel fase terdispersinya semakin cepat. Demikian pula sebaliknya, semakin rendah suhu sistem koloid, maka gerak Brown semakin lambat.</b></div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Adsorpsi</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
<b>Adsorpsi</b><span class="Apple-converted-space"> </span>ialah peristiwa penyerapan partikel atau ion atau senyawa lain pada permukaan partikel koloid yang disebabkan oleh luasnya permukaan partikel. (Catatan : Adsorpsi harus dibedakan dengan absorpsi yang artinya penyerapan yang terjadi di dalam suatu partikel). Contoh : (i) Koloid Fe(OH)<sub style="line-height: 1em;">3</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>bermuatan positif karena permukaannya menyerap ion H+. (ii) Koloid As<sub style="line-height: 1em;">2</sub>S<sub style="line-height: 1em;">3</sub><span class="Apple-converted-space"> </span>bermuatan negatif karena permukaannya menyerap ion S2.</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Muatan koloid</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Dikenal dua macam koloid, yaitu koloid bermuatan positif dan koloid bermuatan negatif.</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Koagulasi koloid</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Koagulasi adalah penggumpalan partikel koloid dan membentuk endapan. Dengan terjadinya koagulasi, berarti zat terdispersi tidak lagi membentuk koloid. Koagulasi dapat terjadi secara fisik seperti pemanasan, pendinginan dan pengadukan atau secara kimia seperti penambahan elektrolit, pencampuran koloid yang berbeda muatan.</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Koloid pelindung</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Koloid pelindung ialah koloid yang mempunyai sifat dapat melindungi koloid lain dari proses koagulasi.</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Dialisis</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Dialisis ialah pemisahan koloid dari ion-ion pengganggu dengan cara ini disebut proses dialisis. Yaitu dengan mengalirkan cairan yang tercampur dengan koloid melalui membran semi permeable yang berfungsi sebagai penyaring. Membran semi permeable ini dapat dilewati cairan tetapi tidak dapat dilewati koloid, sehingga koloid dan cairan akan berpisah.</div>
<ul style="line-height: 1.5em; list-style-image: url("http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/1/18/Monobook-bullet.png"); list-style-type: square; margin: 0.3em 0px 0px 1.5em; padding: 0px;">
<li style="margin-bottom: 0.1em;"><b>Elektroforesis</b></li>
</ul>
<div style="line-height: 1.5em; margin: 0.4em 0px 0.5em;">
Elektroferesis ialah peristiwa pemisahan partikel koloid yang bermuatan dengan menggunakan arus listrik.</div>
</span></span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-20727989082891446202011-06-12T06:08:00.000-07:002011-09-22T18:00:56.801-07:00RUMUS CEPAT MATEMATIKA BARISAN DAN DERET<br />
<div style="text-align: justify;">
Model dan variasi soal ujian matematika
yang itu-itu saja menjadikan peluang siswa menggunakan trik pengerjaan
yang tidak semestinya alias menggunakan jalan pintas dengan rumus cepat
(instan).</div>
<div style="text-align: justify;">
Contoh rumus cepat matematika banyak
sekali yang sering (hampir selalu) berguna ketika UN, SPMB, UMPTN di
antaranya adalah rumus tentang deret aritmetika.</div>
<a name='more'></a><br />
<div style="text-align: justify;">
Contoh soal:</div>
<div style="text-align: justify;">
Jumlah n suku pertama dari suatu deret adalah Sn = 3n<sup>2</sup> + n. Maka suku ke-11 dari deret tersebut adalah…</div>
<div style="text-align: justify;">
Tentu ada banyak cara untuk menyelesaikan soal ini.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Cara pertama</b>, tentukan
dulu rumus Un kemudian hitung U11. Cara ini cukup panjang dan memakan
banyak waktu serta pikiran sehingga menguras banyak energi. Tetapi bagus
Anda coba untuk meningkatkan keterampilan dan pemahaman konsep deret.
Rumus Un dapat kita peroleh dari selisih Sn – S(n-1)dan seterusnya. Saya
yakin semua sudah bisa</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Cara kedua</b>, sedikit
lebih cerdik dari cara pertama. Kita tidak perlu menentukan rumus Un.
Karena kita memang tidak ditanya rumus tersebut. Kita langsung
menghitung U11<br />
S11 – S10 = U11<br />
[3(11<sup>2</sup>) + 11] – [3(10<sup>2</sup>) + 10]<br />
= 3.121 – 3.100 + 11 – 10<br />
= 64</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="text-decoration: underline;">Persamaan Kuadrat</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>contoh soal :</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>1. UMPTN 1991</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan 2x<sup>2</sup>-3x +5 = 0 adalah..</div>
<div style="text-align: justify;">
A. 2x<sup>2</sup> -5x +3 = 0</div>
<div style="text-align: justify;">
B. 2x<sup>2</sup> +3x +5 = 0</div>
<div style="text-align: justify;">
C. 3x<sup>2</sup> -2x +5 = 0</div>
<div style="text-align: justify;">
D. 3x<sup>2</sup> -5x +2 = 0</div>
<div style="text-align: justify;">
E. 5x<sup>2</sup> -3x +2 = 0</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>METODE CERDAS/SMART:</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya <b><span style="text-decoration: underline;">kebalikan</span></b> dari akar-akar ax<sup>2</sup>+bx +c = 0 Adalah : <b>cx<sup>2</sup> +bx +a = 0</b> (<b>Kunci :</b> posisi <b>a</b> dan <b>c</b> di tukar )</div>
<div style="text-align: justify;">
Jawab:</div>
<div style="text-align: justify;">
5x<sup>2</sup> -3x +2 = 0 (E)</div>
<div style="text-align: justify;">
Untuk mengetahui Strategi Cerdas yang lain pada Bab Persamaan Kuadrat silahkan <a href="http://www.ziddu.com/download/11453988/PersamaanKuadrat-OK1.DOC.html" target="_blank">download rumus cepat persamaan kuadrat komplit</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Logaritma</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>contoh soal:</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>UMPTN 1997</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Jumlah dari penyelesaian persamaan : <sup>2</sup>log<sup>2</sup>x +5<sup>2</sup>log x +6 = 0 sama dengan….</div>
<ol style="text-align: justify;">
<li>¼</li>
<li>¾</li>
<li>1/8</li>
<li>3/8</li>
<li>-5/8</li>
</ol>
<div style="text-align: justify;">
Jawab:</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Pembahasan smart/cara cepat</b></div>
<div style="text-align: justify;">
ingat!</div>
<div style="text-align: justify;">
<sup>a</sup>log f(x) = p maka :</div>
<div style="text-align: justify;">
f(x) = a<sup>p</sup></div>
<div style="text-align: justify;">
<sup>maka:</sup></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><sup>2</sup>log<sup>2</sup>x +5<sup>2</sup>log x +6 = 0</li>
<li>(<sup>2</sup>log x +2)(<sup>2</sup>log +3) =0</li>
<li><sup>2</sup>log x = -2 atau <sup>2</sup>log x = -3</li>
<li>x = 2<sup>-2</sup> = ¼ atau x = 2<sup>-3</sup> = 1/8</li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
Maka : x1 + x2 = ¼ + 1/8 = 3/8</div>
<div style="text-align: justify;">
Untuk mengetahui Strategi Cerdas yang lain pada Bab Logaritma slahkan <a href="http://www.ziddu.com/download/11454129/LogaritmadanPeluang.DOC.html" target="_blank">download rumus cepat logaritma komplit</a></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Peluang</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>contoh soal :</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>UMPTN 1998</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7
soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya
pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah….</div>
<ol style="text-align: justify;">
<li>4</li>
<li>5</li>
<li>6</li>
<li>7</li>
<li>10</li>
</ol>
<div style="text-align: justify;">
<b>Penyelesaian cara cepat :</b></div>
<div style="text-align: justify;">
No. 1 dan 2 harus dikerjakan, maka sisa nomor yang dipilih : 3 ,4 ,5 ,6 ,7</div>
<div style="text-align: justify;">
Dipilih 3 soal lagi,maka :</div>
<div style="text-align: justify;">
C<sup>5</sup><sub>3</sub> = (5.4) /(2.1) = 10</div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Untuk mengetahui Strategi Cerdas yang lain pada Bab PELUANG slahkan <a href="http://www.ziddu.com/download/11454129/LogaritmadanPeluang.DOC.html" target="_blank">download rumus cepat PELUANG komplit</a></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Invers</b><b></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Tentukan invers dari :</div>
<div style="text-align: justify;">
F(x) = (2x + 2)<sup>2</sup> – 5</div>
<div style="text-align: justify;">
Cara biasa :</div>
<div style="text-align: justify;">
F(x) = y = (2x + 2)<sup>2</sup> – 5</div>
<div style="text-align: justify;">
y + 5 = (2x + 2)<sup>2</sup></div>
<div style="text-align: justify;">
(y + 5)<sup>1/2</sup> = 2x + 2</div>
<div style="text-align: justify;">
(y + 5)<sup>1/2</sup> – 2 = 2x</div>
<div style="text-align: justify;">
[(y +5)<sup>1/2</sup> - 2]/2 = x</div>
<div style="text-align: justify;">
Jadi F’(x) = [(x + 5)<sup>1/2</sup> - 2]/2</div>
<div style="text-align: justify;">
Cara Cerdas :</div>
<div style="text-align: justify;">
Lihat : (2x + 2)<sup>2</sup> –5</div>
<div style="text-align: justify;">
pada fungsi tersebut pertama <b>x dikalikan 2</b> kemudian <b>ditambah 2</b> lalu <b>dipangkatkan 2</b> kemudian <b>dikurang 5</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Untuk mendapatkan inversnya sekarang
langkahnya di balik / dari belakang dan operasinya tiap langkah diubah
dengan menggunakan inversnya</div>
<div style="text-align: justify;">
hasilnya : <b>x ditambah 5</b> kemudian d<b>ipangkat 1/2</b> lalu <b>dikurang 2 </b>kemudian <b>dibagi 2</b></div>
<div style="text-align: justify;">
so jawabannya : F’(x) = [(x + 5)<sup>1/2</sup> - 2]/2</div>
<div style="text-align: justify;">
kalau anda sudah terbiasa saya yakin
dalam hitungan detik anda sudah dapat menyelesaikannya dengan benar.
untuk soal yang lain pun dengan cara yang sama.</div>
<div style="text-align: justify;">
selamat mencoba!!!</div>
subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-12434742128256820782011-06-10T23:07:00.000-07:002011-06-10T23:10:26.098-07:00FENOMENA TERANEH<strong>1. Naga Fireballs</strong><br />
<img alt="" height="400" src="http://www.ezytourthailand.com/images/tours/Naga-Fireball2.jpg" width="600" /><br />
Bola naga ini terjadi setiap bulan Okboer di Sungai Mekong yang
terletak di Vietnam. Fenomena ini kemudian di namai sebagai Naga
Fireballs (beneran loh gan namanya ini bukan Dragon Fireballs, tapi Naga
Fireballs, wew make bahasa indo nih ). Dan Ilmuwan-Ilmuwan terkemuka
sepakat untuk menyatakan fenomena ini sebagai "just weird as shit."
Prosessnya seperti ini nih : Mulai dari bawah air, 10 dan 100 bola api
bermunculan dari dasar sungai, terbang setinggi beberapa kaki lalu
menghilang. Naga Fireballs ini dipertontonkan oleh Ribuan Pengunjung
dalam negeri maupun manca-negara.<br />
<br />
<a name='more'></a><br />
<strong>2. Star Jelly</strong><br />
<br />
Pada saat jatuhnya meteor dari luar angkasa, 90% dari kejadian itu
selalu menjatuhkan Star Jelly, tetapi kebanyakan orang mengatakan jika
ubur-ubur luar angkasa yang telah terbelah-belah akibat tabrakan
meteor.Ada banyak warga dari berbagai negara yang mengatakan akan
kejadian aneh ini dan orang Jerman mengatakannya sebagai "Sternenrotz".<br />
<br />
<strong>3. Blue Jets and Red Sprites</strong><br />
<img alt="" height="400" src="http://www.spritesandjets.com/sprites-jets-diagram.jpg" width="421" /><br />
Fenomena yang aneh ini hanya dapat dilihat dari luar angkasa atou
dengan pesawat (pesawat luar angkasa). Sprite dan Jet selalu muncul pada
saat petir tiba. Sprite setiap waktu biasanya terlihat 50 miles dari
permukaan, sedangkan Jet menyamabar langsung ketanah dari sumbernya.<br />
<br />
<strong>4. Earthquake Lights</strong><br />
<img alt="" height="375" src="http://irrationalgeographic.files.wordpress.com/2009/06/light.jpg" width="500" /><br />
Pada tahun 372 SM, orang-orang sering melihat cahaya aneh di langit
biru, dan setelah itu terjadi guncangan-guncangan atou gempa. Biasanya
cahaya itu sering terlihat di Cina. Cahaya ini juga dilaporkan terlihata
pada saat gempa di Peru.<br />
<br />
5. Red Rain in Karela<br />
<img alt="" height="450" src="http://farm1.static.flickr.com/108/259722433_20ecb567c5.jpg" width="500" /><br />
Ketika agan melihat hujan pasti agan berkata "apakah kaos kakiku
basah" atou "Apakah aku punya waktu untuk mengeringkan rambutku", tapi
itu semua beda jika agan tinggal di Karela, India. Dari Juli hingga
September karela mengalami pengalaman yang panjang, yaitu dihujani oleh
air berwarna merah. (Walaupun sebenarnya pernah dihujani oleh hujan yang
berwarna biru dan hitam, tapi merah lebih ekstreme). Hingga saat ini
belom ada satupun ilmuwan yang dapat memecahkan fenomena aneh ini.<br />
<br />
<strong>6. Raining Animals</strong><br />
<img alt="" height="309" src="http://cdn-www.cracked.com/articleimages/dan/crazy_science/animals.jpg" width="400" /><br />
Dari beberapa tahun, orang-orang telah melaporkan jika pernah
dihujani oleh binatang dari langit di beberapa negara. Kodok telah
dilaporkan pernah menghujani negara jepang, Cacing-cacing secara spontan
tersebar di tanah dalam jumlah yang cukup banyak di Lousiana, Ikan-ikan
berjatuhan di singapur dan California, bahkan ada beberapa yang
mengatakan sapi-sapi datang dari langit.<br />
<br />
<strong>7. Spontaneus Human Combustion </strong><br />
<br /><img alt="" height="300" src="http://channel.nationalgeographic.com/staticfiles/NGC/StaticFiles/Images/Show/23xx/232x/2323_Spontaneous-human-combustion-1_04700300.jpg" width="470" /><br /><br />Spontaneous Human Combustion
(SHC) adalah fenomena yang terjadi ketika seseorang terbakar secara
tiba-tiba tanpa alasan apapun dan terpanggang seperti Popcorn gosong
bahkan hingga abu. Dan pertanyaan aslinya adalah "What the hell is
setting these people on fire" yang artinya "Neraka apa yang telah
membakar orang-orang ini".<br /><br />Teori dari SHC yang dikemukakan oleh
Dr. Gavin Thurston adalah sebagai berikut :<br /><br /> * Dalam beberapa
kondisi, tubuh akan membakar dirinya untuk membakar lemak-lemak yang
tersimpan, yang tidak menghasilkan keruskana pada sekitarnya.<br /> *
Pembakarannya tidak secara langsung / spontan, tapi melalui panas yang
berada di sekitar korban.<br /> * Ini sering terjadi ketika tubuh
korban sedang mengalami pertumbuhan melalui ramuan-ramuan (secara tidak
sehat gan).<br /> * Penyakit Flu / batuk dapat mencegah SHC.<br /><br /><br />Dari
banyaknya penyelidikan Dr. Wilton Krogman membuat percobaan pada mayat
manusia yang masih utuh untuk dibakar, dari percobaannya itu, didapatkan
jika api yang panasnya 2500 derajat Fahrenheit tidak dapat membakar
hingga abu dalam waktu singkat, melainkan 8 jam, dan hanya api sepanas
lebih dari 4000 derajat Fahrenheit lah yang dapat membakar tulang-tulang
hingga abu.<br />
<div style="background-color: transparent; border: medium none; color: black; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
<br />Sumber : <a href="http://www.creativebrain.web.id/media.php?action=readnews&id=97#ixzz1Owe3vQAa" style="color: #003399;">http://www.creativebrain.web.id/media.php?action=readnews&id=97#ixzz1Owe3vQAa</a>
<br /></div>
subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-65388800080990430182011-06-10T21:50:00.000-07:002011-06-10T21:53:13.509-07:0015 MAKHLUK HIDUP TERUNIK DI DUNIA<br /> <br />
<br />
Dunia ini dipenuhi dengan makhluk hidup yang aneh. Dari vertebrata
hingga invertebrata, banyak makhluk hidup yang berbeda dari lainnya. Di
sini akan dibahas 15 dari hewan-hewan teraneh di dunia.<br />
<b>1. Raja Heriang</b><br />
<a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/47452892_0fd23a037d-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/47452892_0fd23a037d-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="47452892_0fd23a037d-tm" width="400" /></a><br />
Burung Heriang biasanya terlihat sebagai burung yang hitam, jelek dan
membosankan. Namun, Raja Heriang adalah hewan yang
berwarna-warni.Tubuhnya berwarna putih di bagian atas dan putih di
bagian bawah, sementara kepalanya ditutupi berbagai warna mulai dari
merah, oranye dan kuning sampai biru dan ungu. Ia juga punya pial di
kepalanya. Heriang tidak punya pangkal tenggorokan tetapi mereka masih
bisa mengeluarkan suara keras. Menurut mitologi Smuku Maya, burung ini
merupakan penyampai pesan dari Tuhan.<br />
<a name='more'></a><br />
<b>2. Kepiting Laba-laba Jepang</b><br />
<a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/152097082_a0788d18af-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/152097082_a0788d18af-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="152097082_a0788d18af-tm" width="400" /></a><br />
Artropoda terbesar di dunia, kepiting besar ini mempunyai kaki yang
panjangnya bisa mencapai 4 meter (13 kaku) dan beratnya 20 kilogram (44
pound). Mereka juga bisa hidup ribuan tahun.<br />
<b>3. Laba-laba Laut</b><br />
<a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/antarctic_sea_spider-tm.jpg"><img alt="" height="287" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/antarctic_sea_spider-tm.jpg?w=400&h=287&h=287" title="antarctic_sea_spider-tm" width="400" /></a><br />
Hewan yang bentuknya seperti laba-laba ini tinggal di kedalaman yang
berbeda-beda di laut. Karakteristik yang paling menonjol selain tempat
tinggalnya adalah kakinya yang besar (kalau dibandingkan dengan
badannya). Mereka tidak memiliki sistem respirasi, tapi menggunakan
difusi untuk bertahan hidup. Yang terbesar dari jenis ini adalah spesies
Colossendeis colossea.<br />
<b>4. Kalajengking Cambuk</b><br />
<a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/uropygid-sp-veracruz-mexico-4-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/uropygid-sp-veracruz-mexico-4-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="uropygid-sp-veracruz-mexico-4-tm" width="400" /></a><br />
Arakhnida menakutkan ini memiliki pedipalus (penjepit) besar dan
“cambuk” di tepi perut mereka. Yang lebih menakutkan adalah, hewan ini
dapat menyemprotkan berbagai cairan kimia dari perut mereka, termasuk
asam semut (asam formiat) (CH2O2), klorin dan campuran asam asetat
(C2H4O2) dan asam oktanoic (C8H16O2), tergantung dari spesies mereka.
Semprotan terakhir mereka baunya seperti cuka, karena itulah mereka juga
disebut “Vinegarroons”. Hewan serupa yang termasuk kalajengking cambuk
(juga dikenal dengan sebutan kalajengking cambuk tanpa ekor) dan
kalajengking cambuk mikro.<br />
<b>5. Lele Terbalik</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/upsidedown-catfish-tm.jpg"><img alt="" height="267" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/upsidedown-catfish-tm.jpg?w=400&h=267&h=267" title="upsidedown-catfish-tm" width="400" /></a></b><br />
Seperti namanya, ikan dari Afrika ini seringkali ditemukan berenang
dalam keadaan terbalik. Diperkirakan mereka melakukan hal ini agar
mereka dapat menjangkau makanan di permukaan air, seperti telur
serangga. Warna tubuh mereka juga terbalik, tidak seperti kebanyakan
ikan, perut mereka lebih gelap dari bagian atas tubuh mereka. Hal ini
berguna untuk kamuflasi saat menghadapi pemangsa di atas. Mereka adalah
ikan peliharaan populer dan mungkin saja dalam waktu dekat dijual di
pet shop setempat.<br />
<b>6. Beruang Air</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/water-bear-tm.jpg"><img alt="" height="353" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/water-bear-tm.jpg?w=400&h=353&h=353" title="water-bear-tm" width="400" /></a></b><br />
Hewan kecil yang seperti ulat ini adalah salah satu makhluk hidup
terhebat yang pernah ada. Mereka dapat hidup hampir di mana saja, mulai
dari sumber air panas hingga daerah kutub. Hebatnya lagi, mereka dapat
masuk ke cryonic state (keadaan temperatur sangat rendah) yang membuat
mereka hampir sepenuhnya kebal dari kerusakan lingkungan. Mereka dapat
bertahan hidup di suhu lebih dari 150 derajat Celcius dan bahkan
mendekati suhu nol mutlak. Mereka dapat menahan tekanan besar, radiasi
dan bahkan ruang hampa udara. Paling banyak ditemukan di lumut dan
tempat-tempat basah lainnya.<br />
<b>7. Ngengat Vampir</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/vampire-moth-tm.jpg"><img alt="" height="284" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/vampire-moth-tm.jpg?w=400&h=284&h=284" title="vampire-moth-tm" width="400" /></a></b><br />
Tidak semua kupu-kupu dan ngengat minum nektar, ngengat vampir
kenyataannya minum darah. Hal ini dilakukan dengan menggunakan
belalainya yang menembus kulit dan meminum darah targetnya. Dan, ya,
mereka kadang-kadang menggigit manusia. Untungnya mereka tidak
menyebabkan penyakit. Hanya jantan yang menggigit.<br />
<b>8. Megalopyge Opercularis</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/puss1-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/puss1-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="puss1-tm" width="400" /></a></b><br />
Ngengat jenis ini berbulu banyak, apalagi sebagai ulat. Terkenal
dengan beberapa sebutan, seperti ngengat kucing/ ulat kucing, ngengat
flanel selatan, dan ulat berbisa, ngengat ini lebih mirip dengan kucing
Persia daripada ulat. Mereka mungkin terlihat lucu tapi JANGAN pernah
menyentuhnya. Seperti kebanyakan ulat, serangga kecil ini memiliki
sistem pertahanan: rambut mereka sebenarnya duri beracun. Menyentuhnya
tidak akan membunuh, tapi akan melukai dan menyebabkan bekas.
Pertolongan pertama sebaiknya dilakukan jika secara tidak sengaja
menyentuh ulat ini. Mereka menggunakan bulu mereka sebagai kepompong.<br />
<b>9. Kumbang Penggerek Jerapah</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/giraffenhalskaefer-1-tm.jpg"><img alt="" height="268" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/giraffenhalskaefer-1-tm.jpg?w=400&h=268&h=268" title="giraffenhalskaefer-1-tm" width="400" /></a></b><br />
Seperti yang dikira, kumbang penggerek ini memiliki leher yang
panjang dan ramping (hanya jantan yang punya). Leher yang panjang ini
membantu si kumbang penggerek untuk membangun sarangnya. Mereka juga
berwarna-warni, sebagian besar tubuhnya berwarna hitam dan merah.<br />
<b>10. Paus Sperma Kerdil</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/kbreviceps2-tm.jpg"><img alt="" height="234" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/kbreviceps2-tm.jpg?w=400&h=234&h=234" title="kbreviceps2-tm" width="400" /></a></b><br />
Paus Sperma adalah hewan yang tangguh. Mereka adalah hewan dengan
gigi terbesar, menyelam ke kedalaman yang luar biasa dan dikenal
pemangsa cumi-cumi besar. Namun, spesies ini adalah yang terkecil dari
ukan paus. Panjangnya tidak lebih besar dari tubuh manusia dewasa. Hewan
ini dapat mengeluarkan zat kemerahan untuk mengusir predator (yang
juga bisa dilakukan oleh spesies yang sama, paus sperma kerdil).<br />
<b>11. Cnemidophorus Uniparens</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/epv0053-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/epv0053-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="epv0053-tm" width="400" /></a></b><br />
Kadal ini mungkin terlihat biasa dari luar, tapi setelah ditelaah
lebih dalam, sebuah fakta mengejutkan terungkap: di beberapa spesies,
seperti New Mexico Whiptail, seluruhnya adalah betina. Mereka mengalami
Partenogenesis, yang merupakan pembuahan embrio tanpa jantan untuk
menghasilkan keturunan. Meskipun demikian, kadal ini masih butuh “kawin”
untuk meningkatkan kesuburan.<br />
<b>12. Andean Cock-of-the-rock</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/andeancock-of-the-rock2-tm.jpg"><img alt="" height="285" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/andeancock-of-the-rock2-tm.jpg?w=400&h=285&h=285" title="andeancock-of-the-rock2-tm" width="400" /></a></b><br />
Betina dari spesies burung ini sebenarnya cukup normal, tetapi
jantannya memiliki kepala aneh yang terlihat besar, merah/oranye dan
menonjol. Bulunya berwarna merah/oranye di bagian depan, hitam di bawah
dan sedikit keabuan. Mereka adalah burung nasional dari Peru.<br />
<b>13. Umang-umang Kelapa</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/crab1-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/crab1-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="crab1-tm" width="400" /></a></b><br />
Artropoda terbesar yang hidup didaratan (berat mencapai 4,1
kilogram), umang-umang ini dikenal suka memanjat pohon kelapa dan
memakan buahnya. Tidak seperti umang-umang lainnya, hanya anak-anak yang
memakai tempurung kulit. Yang lebih tua biasanya memakai tempurung
kelapa. Warna mereka berwarna-warni, seperti oranye dan biru. Mereka
dirumorkan suka mencuri benda berkilau.<br />
<b>14. Katak Berambut</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/frogtrichobatrachus_robustus-tm.jpg"><img alt="" height="300" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/frogtrichobatrachus_robustus-tm.jpg?w=400&h=300&h=300" title="frogtrichobatrachus_robustus-tm" width="400" /></a></b><br />
Katak afrika ini mendapatkan namanya dari struktur kulit samping yang
mirip rambut pada jantan. Rambut ini digunakan untuk meningkatkan laju
si katak menyerap oksigen, karena jantan menghabiskan waktu yang lama
untuk menjaga telurnya. Fakta mengesankan lain dari katak ini adalah
mereka memiliki cakar yang bisa ditarik keluar yang terbuat dari tulang
(sebagai lawam keratin). Namun, untuk mengeluarkan cakar ini, katak
harus mematahkan tulang bintil terlebih dahulu.<br />
<b>15. Ikan Barreleye</b><br />
<b><a href="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/barreleye-fish-tm.jpg"><img alt="" height="282" src="http://izmanyzz.files.wordpress.com/2010/08/barreleye-fish-tm.jpg?w=400&h=282&h=282" title="barreleye-fish-tm" width="400" /></a></b><br />
Keberadaannya sebenarnya sudah teridentifikasi sejak tahun 1939.
Namun, itu hanya dari spesimen yang telah mati. Ikan yang terlihat dalam
foto tersebut berukuran panjang sekitar 15 sentimeter. Para peneliti
dari Monterey Bay Aquarium Research Institute (MBARI) memotretnya di
perairan dalam dekat pantai tengah California. Ini adalah satu-satunya
spesies ikan yang punya keunikan tersebut. Walaupun memiliki dua
tonjolan di kepalanya, itu BUKAN mata. Matanya adalah dua bola hijau
transparan di dalam kepalanya. Mata ini dapat digunakan untuk mencari
makanan di atas atau melihat kedepan ketika memburu mangsanya.subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-55492444441390541252011-06-02T02:06:00.000-07:002011-06-02T02:06:05.413-07:00ALAT OPTIK<h2><a href="http://aktifisika.wordpress.com/2009/01/30/alat-optik/" rel="bookmark" title="Permanent Link to Alat Optik">Alat Optik</a></h2><small>30 January 2009</small><br />
Cermin dan lensa serta prinsip kerjanya memberikan sarana pemahaman bagi pemanfaatannya untuk mempermudah dan membantu kehidupan manusia. Alat-alat yang bekerja berdasarkan prinsip optik (cermin dan lensa) digolongkan sebagai alat optik.<br />
<div class="MsoNormal"><strong>Mata </strong></div><div class="MsoNormal">Salah satu alat optik alamiah yang merupakan salah satu anugerah dari Sang Pencipta adalah mata. Di dalam mata terdapat lensa kristalin yang terbuat dari bahan bening, berserat, dan kenyal. Lensa kristalin atau lensa mata berfungsi mengatur pembiasan yang disebabkan oleh cairan di depan lensa. Cairan ini dinamakan <em>aqueous humor</em>. Intensitas cahaya yang masuk ke mata diatur oleh pupil.</div><div class="MsoNormal"> </div><div class="wp-caption aligncenter" id="attachment_168" style="width: 390px;"><img alt="Bagian-bagian mata" class="size-full wp-image-168" height="300" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/eye_diagram2.gif?w=380&h=300" title="eye_diagram2" width="380" /><a name='more'></a><div class="wp-caption-text">Bagian-bagian mata</div></div>Cahaya yang masuk ke mata difokuskan oleh lensa mata ke bagian belakang mata yang disebut retina. Bentuk bayangan benda yang jatuh di retina seolah-olah direkam dan disampaikan ke otak melalui saraf optik. Bayangan inilah yang sampai ke otak dan memberikan kesan melihat benda kepada mata. Jadi, mata dapat melihat objek dengan jelas apabila bayangan benda (bayangan nyata) terbentuk tepat di retina.<br />
<div class="MsoNormal">Lensa mata merupakan lensa yang kenyal dan fleksibel yang dapat menyesuaikan dengan objek yang dilihat. Karena bayangan benda harus selalu difokuskan tepat di retina, lensa mata selalu berubah-ubah untuk menyesuaikan objek yang dilihat. Kemampuan mata untuk menyesuaikan diri terhadap objek yang dilihat dinamakan daya akomodasi mata.</div><div class="MsoNormal"> </div><div class="wp-caption alignright" id="attachment_169" style="width: 193px;"><img alt="daya akomodasi mata" class="size-full wp-image-169" height="239" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/2-10a-2.jpg?w=183&h=239" title="2-10a-2" width="183" /><div class="wp-caption-text">daya akomodasi mata</div></div>Saat mata melihat objek yang dekat, lensa mata akan berakomodasi menjadi lebih cembung agar bayangan yang terbentuk jatuh tepat di retina. Sebaliknya, saat melihat objek yang jauh, lensa mata akan menjadi lebih pipih untuk memfokuskan bayangan tepat di retina.<br />
<div class="MsoNormal">Titik terdekat yang mampu dilihat oleh mata dengan jelas disebut titik dekat mata (punctum proximum/PP). Pada saat melihat benda yang berada di titik dekatnya, mata dikatakan berakomodasi maksimum. Titik dekat mata disebut juga dengan jarak baca normal karena jarak yang lebih dekat dari jarak ini tidak nyaman digunakan untuk membaca dan mata akan terasa lelah. Jarak baca normal atau titik dekat mata adalah sekitar 25 cm.</div><div class="MsoNormal">Adapun, titik terjauh yang dapat dilihat oleh mata dengan jelas disebut titik jauh mata (punctum remotum/PR). Pada saat melihat benda yang berada di titik jauhnya, mata berada dalam kondisi tidak berakomodasi. Jarak titik jauh mata normal adalah di titik tak hingga (~).</div><div class="MsoNormal"><strong>Rabun Jauh dan Cara Memperbaikinya</strong></div><div class="MsoNormal">Orang yang menderita rabun jauh atau miopi tidak mampu melihat dengan jelas objek yang jauh tapi tetap mampu melihat dengan jelas objek di titik dekatnya (pada jarak 25 cm). titik jauh mata orang yang menderita rabun jauh berada pada jarak tertentu (mata normal memiliki titik jauh tak berhingga).</div><div class="MsoNormal">Rabun jauh dapat diperbaiki dengan menggunakan lensa divergen yang bersifat menyebarkan (memencarkan) sinar. Lensa divergen atau lensa cekung atau lensa negatif dapat membantu lensa mata agar dapat memfokuskan bayangan tepat di retina.</div><div class="MsoNormal"> </div><div class="wp-caption aligncenter" id="attachment_172" style="width: 260px;"><img alt="miopi dikoreksi menggunakan lensa negatif" class="size-full wp-image-172" height="200" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/myopi1.png?w=250&h=200" title="myopi1" width="250" /><div class="wp-caption-text">miopi dikoreksi menggunakan lensa negatif</div></div>Jarak fokus lensa dan kuat lensa yang digunakan untuk memperbaiki mata yang mengalami rabun jauh dapat ditentukan berdasarkan persamaan lensa tipis dan rumus kuat lensa.<br />
<img alt="pers01" class="aligncenter size-full wp-image-173" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers01.gif?w=66&h=42" title="pers01" width="66" /><img alt="pers02" class="aligncenter size-full
wp-image-174" height="44" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers02.gif?w=86&h=44" title="pers02" width="86" />Di sini jarak <em>s</em> adalah jarak tak hingga (titik jauh mata normal), dan <em>s’</em> adalah titik jauh mata (PR). Prinsip dasarnya adalah lensa negatif digunakan untuk memindahkan (memajukan) objek pada jarak tak hingga agar menjadi bayangan di titik jauh mata tersebut sehingga mata dapat melihat objek dengan jelas.<br />
<div class="MsoNormal"><strong>Rabun Dekat dan Cara Memperbaikinya</strong></div><div class="MsoNormal">Orang yang menderita rabun dekat atau hipermetropi tidak mampu melihat dengan jelas objek yang terletak di titik dekatnya tapi tetap mampu melihat dengan jelas objek yang jauh (tak hingga). Titik dekat mata orang yang menderita rabun dekat lebih jauh dari jarak baca normal (PP > 25 cm).</div><div class="MsoNormal">Cacat mata hipermetropi dapat diperbaiki dengan menggunakan lensa konvergen yang bersifat mengumpulkan sinar. Lensa konvergen atau lensa cembung atau lensa positif dapat membantu lensa mata agar dapat memfokuskan bayangan tepat di retina.</div><div class="MsoNormal"> </div><div class="wp-caption aligncenter" id="attachment_175" style="width: 260px;"><img alt="hipermetropi dikoreksi menggunakan lensa positif" class="size-full wp-image-175" height="200" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/hiper.png?w=250&h=200" title="hiper" width="250" /><div class="wp-caption-text">hipermetropi dikoreksi menggunakan lensa positif</div></div>Jarak fokus lensa dan kuat lensa yang digunakan untuk memperbaiki mata yang mengalami hipermetropi dapat ditentukan berdasarkan persamaan lensa tipis dan rumus kuat lensa.<br />
<div class="MsoNormal"><img alt="pers011" class="aligncenter size-full wp-image-176" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers011.gif?w=66&h=42" title="pers011" width="66" /><img alt="pers03" class="aligncenter size-full
wp-image-177" height="38" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers03.gif?w=74&h=38" title="pers03" width="74" />Di sini jarak <em>s</em> adalah jarak titik dekat mata normal (25 cm), dan <em>s’</em> adalah titik dekat mata (PP). Prinsip dasarnya adalah lensa positif digunakan untuk memindahkan (memundurkan) objek pada jarak baca normal menjadi bayangan di titik dekat mata tersebut sehingga mata dapat melihat objek dengan jelas.</div><div class="MsoNormal"><strong>Kaca Pembesar</strong></div><div class="MsoNormal">Kaca pembesar atau lup digunakan untuk melihat benda kecil yang tidak bisa dilihat dengan mata secara langsung. Lup menggunakan sebuah lensa cembung atau lensa positif untuk memperbesar objek menjadi bayangan sehingga dapat dilihat dengan jelas.</div><div class="MsoNormal"><img alt="180px-magnifying_glass2" class="aligncenter size-full wp-image-180" height="120" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/180px-magnifying_glass2.jpg?w=180&h=120" title="180px-magnifying_glass2" width="180" />Bayangan yang dibentuk oleh lup bersifat maya, tegak, dan diperbesar. Untuk mendapatkan bayangan semacam ini objek harus berada di depan lensa dan terletak diantara titik pusat O dan titik fokus <em>F</em> lensa. untuk menghasilkan bayangan yang diinginkan, lup dapat digunakan dalam dua macam cara, yaitu dengan mata berakomodasi maksimum dan dengan mata tidak berakomodasi.</div><div class="MsoNormal">Lup dapat digunakan dengan mata berakomodasi maksimum untuk mendapatkan perbesaran bayangan yang diinginkan. Agar mata berakomodasi maksimum, bayangan yang terbentuk harus tepat berada di titik dekat mata (<em>s’</em> = <em>s<sub>n</sub></em> = jarak titik dekat mata).</div><div class="MsoNormal"><img alt="lup3-300x105" class="aligncenter size-full wp-image-179" height="105" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/lup3-300x105.gif?w=300&h=105" title="lup3-300x105" width="300" />Perbesaran bayangan yang dihasilkan oleh lup dengan mata berakomodasi maksimum adalah</div><div class="MsoNormal"><img alt="pers09" class="aligncenter size-full wp-image-203" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers09.gif?w=61&h=42" title="pers09" width="61" />Dimana <em>P</em> adalah perbesaran lup, <em>s<sub>n</sub></em> adalah jarak titik dekat mata (<em>s<sub>n</sub></em> = 25 cm untuk mata normal), dan <em>f</em> adalah jarak fokus lup.</div><div class="MsoNormal">Menggunakan lup dalam keadaan mata berakomodasi maksimum membuat mata menjadi cepat lelah. Agar mata relaks dan tidak cepat lelah, lup digunakan dalam keadaan mata tidak berakomodasi. Untuk mendapatkan perbesaran bayangan yang diinginkan dalam keadaan mata tidak berakomodasi, bayangan yang terbentuk harus berada sangat jauh di depan lensa (jarak tak hingga). dalam hal ini objek harus berada di titik fokus lensa (<em>s</em> = <em>f</em>).</div><div class="MsoNormal"><img alt="lup2-300x2041" class="aligncenter size-full wp-image-182" height="204" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/lup2-300x2041.gif?w=300&h=204" title="lup2-300x2041" width="300" />Perbesaran bayangan yang dihasilkan oleh lup dengan mata tidak berakomodasi adalah</div><div class="MsoNormal"><img alt="pers051" class="aligncenter size-full wp-image-188" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers051.gif?w=44&h=42" title="pers051" width="44" />Dimana <em>P</em> adalah perbesaran lup, <em>s<sub>n</sub></em> adalah jarak titik dekat mata (<em>s<sub>n</sub></em> = 25 cm untuk mata normal), dan <em>f</em> adalah jarak fokus lup.</div><div class="MsoNormal"><strong>Mikroskop</strong></div><div class="MsoNormal">Perbesaran bayangan yang dihasilkan dengan menggunakan lup yang hanya menggunakan sebuah lensa cembung kurang maksimal dan terbatas. Untuk mendapatkan perbesaran yang lebih besar diperlukan susunan alat optik yang lebih baik. Perbesaran yang lebih besar dapat diperoleh dengan membuat susunan dua buah lensa cembung. Susunan alat optik ini dinamakan mikroskop yang dapat menghasilkan perbesaran sampai lebih dari 20 kali.</div><div class="MsoNormal">Sebuah mikroskop terdiri atas dua buah lensa cembung (lensa positif). lensa yang dekat dengan objek (benda) dinamakan lensa objektif, sedangkan lensa yang dekat mata dinamakan lensa okuler. Jarak fokus lensa okuler lebih besar daripada jarak fokus lensa objektif.</div><div class="MsoNormal"> </div><div class="wp-caption aligncenter" id="attachment_184" style="width: 288px;"><img alt="mikroskop dan bagian-bagiannya" class="size-medium wp-image-184" height="300" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/mikroskop_chy.jpg?w=278&h=300" title="mikroskop_chy" width="278" /><div class="wp-caption-text">mikroskop dan bagian-bagiannya</div></div><div class="wp-caption aligncenter" id="attachment_185" style="width: 310px;"><img alt="pembentukan bayangan pada mikroskop" class="size-full wp-image-185" height="127" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/mikroskop1-300x127.gif?w=300&h=127" title="mikroskop1-300x127" width="300" /><div class="wp-caption-text">pembentukan bayangan pada mikroskop</div></div>Objek yang ingin diamati diletakkan di depan lensa objektif di antara titik <em>F<sub>ob</sub></em> dan 2<em>F<sub>ob</sub></em>. Bayangan yang terbentuk oleh lensa objektif adalah <em>I</em><sub>1</sub> yang berada di belakang lensa objektif dan di depan lensa okuler. Bayangan ini bersifat nyata, terbalik, dan diperbesar. Bayangan <em>I</em><sub>1</sub> akan menjadi benda bagi lensa okuler dan terletak di depan lensa okuler antara pusat optik O dan titik fokus okuler <em>F<sub>ok</sub></em>. Di sini lensa okuler akan berfungsi sebagai lup dan akan terbentuk bayangan akhir <em>I</em><sub>2</sub> di depan lensa okuler. Bayangan akhir <em>I</em><sub>2</sub> yang terbentuk bersifat maya, diperbesar, dan terbalik terhadap objek semula.<br />
<div class="MsoNormal">Perbesaran yang dihasilkan mikroskop adalah gabungan dari perbesaran lensa objektif dan perbesaran lensa okuler. Perbesaran lensa objektif mikroskop adalah</div><div class="MsoNormal"><img alt="pers062" class="aligncenter size-full wp-image-192" height="44" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers062.gif?w=64&h=44" title="pers062" width="64" />Dimana <em>P<sub>ob</sub></em> adalah perbesaran lensa objektif, <em>s’<sub>ob</sub></em> adalah jarak bayangan lensa objektif dan <em>s<sub>ob</sub></em> adalah jarak objek di depan lensa objektif.</div><div class="MsoNormal">Adapun perbesaran lensa okuler mikroskop sama dengan perbesaran lup, yaitu sebagai berikut.</div><div class="MsoNormal"><span style="position: relative; top: 14pt;"><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--></span><img alt="pers072" class="alignleft size-full wp-image-190" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers072.gif?w=76&h=42" title="pers072" width="76" /></div><div class="MsoNormal">untuk mata berakomodasi maksimum<span> </span></div><div class="MsoNormal"><span><br />
</span></div><div class="MsoNormal"><img alt="pers08" class="alignleft size-full wp-image-191" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers08.gif?w=57&h=42" title="pers08" width="57" /></div><div class="MsoNormal"> </div><div class="MsoNormal">untuk mata tidak berakomodasi<span> </span></div><div class="MsoNormal"><span><br />
</span></div><div class="MsoNormal">Dimana <em>P<sub>ok</sub></em> adalah perbesaran lensa okuler, <em>s<sub>n</sub></em> adalah jarak titik dekat mata (untuk mata normal <em>s<sub>n</sub></em> = 25 cm), dan <em>f<sub>ok</sub></em> adalah jarak fokus lensa okuler.</div><div class="MsoNormal">Perbesaran total mikroskop adalah hasil kali perbesaran lensa objektif dan perbesaran lensa okuler. Jadi,</div><div class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span> </span><em>P</em> = <em>P<sub>ob</sub></em> × <em>P<sub>ok</sub></em> <span> </span></div><div class="MsoNormal">Hal-hal penting yang perlu diketahui berkaitan dengan mikroskop:</div><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.5in; text-indent: -0.25in;"><!--[if !supportLists]--><span>(1)<span style="font-family: "font-style:normal; font-size: 7pt; font-variant: normal; font-weight: normal; line-height: normal;"> </span></span><!--[endif]-->jarak antara lensa objektif dan lensa okuler disebut juga panjang tabung (<em>d</em>). panjang tabung sama dengan penjumlahan jarak bayangan yang dibentuk lensa objektif (<em>s’<sub>ob</sub></em>) dengan jarak benda (bayangan pertama) ke lensa okuler (<em>s<sub>ok</sub></em>).</div><div class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span> </span><em>d</em> = <em>s’<sub>ob</sub></em> + <em>s<sub>ok</sub></em><span> </span></div><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.5in; text-indent: -0.25in;">(2)<span> </span>menggunakan mikroskop dengan mata berakomodasi maksimum berarti letak bayangan akhir berada di titik dekat mata di depan lensa okuler. Jadi, dapat dituliskan</div><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.5in; text-align: center; text-indent: -0.25in;"><span> </span><em>s’<sub>ok</sub></em> = −<em>s<sub>n</sub></em></div><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.5in; text-indent: -0.25in;">(3)<span> </span>menggunakan mikroskop dengan mata tidak berakomodasi berarti jarak benda di depan lensa okuler (<em>s<sub>ok</sub></em> ) berada tepat di titik fokus lensa okuler (<em>f<sub>ok</sub></em>). Jadi, dapat dituliskan</div><div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.5in; text-align: center; text-indent: -0.25in;"><span> </span><em>s<sub>ok</sub></em> = <em>f<sub>ok</sub></em></div><div class="MsoNormal"><strong>Teropong Bintang</strong></div><div class="MsoNormal">Bintang-bintang di langit yang letaknya sangat jauh tidak dapat dilihat secara langsung oleh mata. Teropong atau teleskop dapat digunakan untuk melihat bintang atau objek yang letaknya sangat jauh.</div><div class="MsoNormal">Teropong terdiri atas dua lensa cembung, sebagaimana mikroskop. Pada teropong jarak fokus lensa objektif lebih besar daripada jarak fokus lensa okuler (<em>f<sub>ob</sub></em> > <em>f<sub>ok</sub></em>). Teropong digunakan dengan mata tidak berakomodasi agar tidak cepat lelah karena teropong digunakan untuk mengamati bintang selama berjam-jam. Dengan mata tidak berakomodasi, bayangan lensa objektif harus terletak di titik fokus lensa okuler. Dengan demikian, panjang teropong (atau jarak antara kedua lensa) adalah</div><div class="MsoNormal" style="text-align: center;"><span> </span><em>d</em> = <em>f<sub>ob</sub></em> + <em>f<sub>ok</sub></em><span> </span></div><div class="MsoNormal">dimana <em>f<sub>ob</sub></em> adalah jarak fokus lensa objektif dan <em>f<sub>ok</sub></em> adalah jarak fokus lensa okuler.</div><div class="MsoNormal">Adapun perbesaran <em>P</em> yang dihasilkan oleh teropong adalah</div><span> </span><span style="position: relative; top: 14pt;"><!--[if gte vml 1]> <![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><!--[if gte mso 9]> <![endif]--><span><img alt="pers10" class="aligncenter size-full wp-image-205" height="42" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2009/01/pers10.gif?w=49&h=42" title="pers10" width="49" /></span>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-10255999705135183722011-06-02T01:57:00.000-07:002011-06-02T01:57:08.514-07:00FISIKA MODERN<div class="post-301 post type-post status-publish format-standard
hentry category-fisika-modern tag-compton tag-efek-compton tag-foton
tag-sinar-x" id="post-301"> <h2><a href="http://aktifisika.wordpress.com/2010/02/22/sifat-partikel-dari-cahaya-efek-compton/" rel="bookmark" title="Permanent Link to Sifat Partikel dari Cahaya:
Efek Compton">Sifat Partikel dari Cahaya: Efek Compton</a></h2><br />
<div class="entry"> Pada efek fotolistrik, cahaya dapat dipandang sebagai kuantum energi dengan energi yang diskrit. Kuantum energi tidak dapat digambarkan sebagai gelombang tetapi lebih mendekati bentuk partikel. Partikel cahaya dalam bentuk kuantum dikenal dengan sebutan foton. Pandangan cahaya sebagai foton diperkuat lagi melalui gejala yang dikenal sebagai efek Compton.<br />
Jika seberkas sinar-X ditembakkan ke sebuah elektron bebas yang diam, sinar-X akan mengalami perubahan panjang gelombang dimana panjang gelombang sinar-X menjadi lebih besar. Gejala ini dikenal sebagai efek Compton, sesuai dengan nama penemunya, yaitu Arthur Holly Compton.<br />
<img alt="" class="aligncenter" height="288" src="http://cph-theory.persiangig.com/1197-6.JPG" width="359" />Sinar-X digambarkan sebagai foton yang bertumbukan dengan elektron (seperti halnya dua bola bilyar yang bertumbukan). Elektron bebas yang diam menyerap sebagian energi foton sehingga bergerak ke arah membentuk sudut terhadap arah foton mula-mula. Foton yang menumbuk elektron pun terhambur dengan sudut <em>θ</em> terhadap arah semula dan panjang gelombangnya menjadi lebih besar. Perubahan panjang gelombang foton setelah terhambur dinyatakan sebagai<br />
<a href="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/compton01.gif"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-302" height="38" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/compton01.gif?w=164&h=38" title="compton01" width="164" /></a>Dimana <em>m</em> adalah massa diam elektron, <em>c</em> adalah kecepatan cahaya, dan <em>h</em> adalah konstanta Planck.<br />
<div class="wp-caption aligncenter" style="width: 247px;"><a name='more'></a></div></div></div><hr /> <h2> </h2><h2><a href="http://aktifisika.wordpress.com/2010/02/22/sifat-partikel-dari-cahaya-efek-fotolistrik/" rel="bookmark" title="Permanent Link to Sifat Partikel dari Cahaya:
Efek Fotolistrik">Sifat Partikel dari Cahaya: Efek Fotolistrik</a></h2><br />
<div class="entry"> Pernahkah kamu melihat pelangi? Pernahkah kamu melihat warna-warni di jalan aspal yang basah? Pelangi terjadi akibat dispersi cahaya matahari pada titik-titik air hujan. Adapun warna-warni yang terlihat di jalan beraspal terjadi akibat gejala interferensi cahaya. Gejala dispersi dan interferensi cahaya menunjukkan bahwa cahaya merupakan gejala gelombang. Gejala difraksi dan polarisasi cahaya juga menunjukkan sifat gelombang dari cahaya.<br />
<div class="wp-caption aligncenter" id="attachment_295" style="width: 310px;"><a href="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/158122970_70edfbcc03.jpg"><img alt="" class="size-medium wp-image-295" height="200" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/158122970_70edfbcc03.jpg?w=300&h=200" title="158122970_70edfbcc03" width="300" /></a><div class="wp-caption-text">pola warna-warni di atas aspal basah yang dikenai bensin terjadi akibat interferensi cahaya</div></div>Gejala fisika yang lain seperti spektrum diskrit atomik, efek fotolistrik, dan efek Compton menunjukkan bahwa cahaya juga dapat berperilaku sebagai partikel. Sebagai partikel cahaya disebut dengan foton yang dapat mengalami tumbukan selayaknya bola.<br />
<strong>Efek Fotolistrik</strong><br />
Ketika seberkas cahaya dikenakan pada logam, ada elektron yang keluar dari permukaan logam. Gejala ini disebut efek fotolistrik. Efek fotolistrik diamati melalui prosedur sebagai berikut. Dua buah pelat logam (lempengan logam tipis) yang terpisah ditempatkan di dalam tabung hampa udara. Di luar tabung kedua pelat ini dihubungkan satu sama lain dengan kawat. Mula-mula tidak ada arus yang mengalir karena kedua plat terpisah. Ketika cahaya yang sesuai dikenakan kepada salah satu pelat, arus listrik terdeteksi pada kawat. Ini terjadi akibat adanya elektron-elektron yang lepas dari satu pelat dan menuju ke pelat lain secara bersama-sama membentuk arus listrik.<br />
<br />
Hasil pengamatan terhadap gejala efek fotolistrik memunculkan sejumlah fakta yang merupakan karakteristik dari efek fotolistrik. Karakteristik itu adalah sebagai berikut.<br />
<ol><li>hanya cahaya yang sesuai (yang memiliki frekuensi yang lebih besar dari frekuensi tertentu saja) yang memungkinkan lepasnya elektron dari pelat logam atau menyebabkan terjadi efek fotolistrik (yang ditandai dengan terdeteksinya arus listrik pada kawat). Frekuensi tertentu dari cahaya dimana elektron terlepas dari permukaan logam disebut frekuensi ambang logam. Frekuensi ini berbeda-beda untuk setiap logam dan merupakan karakteristik dari logam itu.</li>
<li>ketika cahaya yang digunakan dapat menghasilkan efek fotolistrik, penambahan intensitas cahaya dibarengi pula dengan pertambahan jumlah elektron yang terlepas dari pelat logam (yang ditandai dengan arus listrik yang bertambah besar). Tetapi, Efek fotolistrik tidak terjadi untuk cahaya dengan frekuensi yang lebih kecil dari frekuensi ambang meskipun intensitas cahaya diperbesar.</li>
<li>ketika terjadi efek fotolistrik, arus listrik terdeteksi pada rangkaian kawat segera setelah cahaya yang sesuai disinari pada pelat logam. Ini berarti hampir tidak ada selang waktu elektron terbebas dari permukaan logam setelah logam disinari cahaya.</li>
</ol>Karakteristik dari efek fotolistrik di atas tidak dapat dijelaskan menggunakan teori gelombang cahaya. Diperlukan cara pandang baru dalam mendeskripsikan cahaya dimana cahaya tidak dipandang sebagai gelombang yang dapat memiliki energi yang kontinu melainkan cahaya sebagai partikel.<br />
Perangkat teori yang menggambarkan cahaya bukan sebagai gelombang tersedia melalui konsep energi diskrit atau terkuantisasi yang dikembangkan oleh Planck dan terbukti sesuai untuk menjelaskan spektrum radiasi kalor benda hitam. Konsep energi yang terkuantisasi ini digunakan oleh Einstein untuk menjelaskan terjadinya efek fotolistrik. Di sini, cahaya dipandang sebagai kuantum energi yang hanya memiliki energi yang diskrit bukan kontinu yang dinyatakan sebagai <em>E</em> = <em>hf</em>.<br />
Konsep penting yang dikemukakan Einstein sebagai latar belakang terjadinya efek fotolistrik adalah bahwa satu elektron menyerap satu kuantum energi. Satu kuantum energi yang diserap elektron digunakan untuk lepas dari logam dan untuk bergerak ke pelat logam yang lain. Hal ini dapat dituliskan sebagai<br />
Energi cahaya = Energi ambang + Energi kinetik maksimum elektron<br />
<div style="text-align: center;"><em> E</em> = <em>W</em><sub>0</sub> + <em>E<sub>km</sub></em></div><div style="text-align: center;"><em> hf</em> = <em>hf</em><sub>0</sub> + <em>E<sub>km</sub></em></div><div style="text-align: center;"><em>E<sub>km</sub></em> = <em>hf</em> – <em>hf</em><sub>0</sub></div>Persamaan ini disebut <strong>persamaan efek fotolistrik Einstein</strong>. Perlu diperhatikan bahwa <em>W</em><sub>0</sub> adalah energi ambang logam atau fungsi kerja logam, <em>f</em><sub>0</sub> adalah frekuensi ambang logam, <em>f</em> adalah frekuensi cahaya yang digunakan, dan <em>E<sub>km</sub></em> adalah energi kinetik maksimum elektron yang lepas dari logam dan bergerak ke pelat logam yang lain. Dalam bentuk lain persamaan efek fotolistrik dapat ditulis sebagai<br />
<a href="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/fotoelektrik01.gif"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-296" height="38" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/fotoelektrik01.gif?w=100&h=38" title="fotoelektrik01" width="100" /></a>Dimana <em>m</em> adalah massa elektron dan <em>v<sub>e</sub></em> adalah dan kecepatan elektron. Satuan energi dalam SI adalah joule (J) dan frekuensi adalah hertz (Hz). Tetapi, fungsi kerja logam biasanya dinyatakan dalam satuan elektron volt (eV) sehingga perlu diingat bahwa 1 eV = 1,6 × 10<sup>−19</sup> J.<br />
<strong> </strong><br />
<strong>Potensial Penghenti</strong><br />
Gerakan elektron yang ditandai sebagai arus listrik pada gejala efek fotolistrik dapat dihentikan oleh suatu tegangan listrik yang dipasang pada rangkaian. Jika pada rangkaian efek fotolistrik dipasang sumber tegangan dengan polaritas terbalik (kutub positif sumber dihubungkan dengan pelat tempat keluarnya elektron dan kutub negatif sumber dihubungkan ke pelat yang lain), terdapat satu nilai tegangan yang dapat menyebabkan arus listrik pada rangkaian menjadi nol.<br />
Arus nol atau tidak ada arus berarti tidak ada lagi elektron yang lepas dari permukaan logam akibat efek fotolistrik. Nilai tegangan yang menyebabkan elektron berhenti terlepas dari permukaan logam pada efek fotolistrik disebut tegangan atau potensial penghenti (<em>stopping potential</em>). Jika <em>V</em><sub>0</sub> adalah potensial penghenti, maka<br />
<div style="text-align: center;"><em>E<sub>km</sub></em> = <em>eV</em><sub>0</sub></div><a href="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/fotoelektrik02.gif"><img alt="" class="aligncenter size-full wp-image-297" height="38" src="http://aktifisika.files.wordpress.com/2010/02/fotoelektrik02.gif?w=73&h=38" title="fotoelektrik02" width="73" /></a> Persamaan ini pada dasarnya adalah persamaan energi. Perlu diperhatikan bahwa <em>e</em> adalah muatan elektron yang besarnya 1,6 × 10<sup>−19</sup> C dan tegangan dinyatakan dalam satuan volt (V).<br />
<strong>Aplikasi Efek fotolistrik</strong><br />
Efek fotolistrik merupakan prinsip dasar dari berbagai piranti fotonik (<em>photonic device</em>) seperti lampu LED (<em>light emitting device</em>) dan piranti detektor cahaya (<em>photo detector</em>).<br />
</div>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-60540107674431410492011-06-02T01:45:00.000-07:002011-06-02T01:45:19.662-07:00GEN DAN KROMOSOMPada saat Mendel mempublikasikan hasil penelitiannya, konsep sel sebagai unit dasar hidup telah berumur kurang-lebih 30 tahun. Namun saat itu, elemen-elemen struktural sel baru dalam proses penelitian intensif sejalan dengan dikembangkannya mikroskop dan sistem pewarna sel. Rekaan pertama hasil studi ini adalah bahwa sel terdiri dari dua domain yang terpisah dengan jelas: bagian inti (nukleus) dan bagian pinggiran (sitoplasma). Keduanya dipisahkan oleh selaput inti. <br />
<a name='more'></a><br />
Ditemukan selanjutnya bahwa pada bagian inti ada dua bagian yang secara morfologi dapat dibedakan, yaitu daerah butiran (kromatin) yang berwarna lebih kuat jika di warnai dengan pewarna tertentu, dan bagian inti nukleus (nucleolus) yang warnanya tidak serupa dengan kromatin. Sitoplasma sendiri terdiri dari beberapa organela seperti sentriola dan vakuola.<br />
Studi-studi embriologi menunjukan bahwa sel-sel penyusun tubuh organisme tingkat tinggi berasal dari suatu seri pembelahan sel yang diawali oleh sel telur yang dibuahi (diktum Rudolf Virchow, tahun 1850-an). Dari studi-studi sitologi sel kelamin jantan dan sel kelamin betina, ditemukan bahwa walaupun ukuran sel telur sangat besar, namun baik sel kelamin jantan dan sel kelamin betina memiliki inti sel dengan ukuran yang sama, dan kedua-duanya memberi sumbangan hereditas yang sama.<br />
Dikarenakan kesamaan sumbangan sel kelamin jantan dan sel kelamin betina kepada pewarisan sifat, dan ketidakseimbangan kontribusi daerah sitoplasma, maka diduga inti sel dan bukan sitoplasma sebagai tempat bersemayannya pewarisan sifat seluler.<br />
Pada saat Mendel meninggal tahun 1884, telah diketahui bahwa kromatin inti sel terdiri dari partikel-partikel yang membentuk benang-benang dengan jumlah tertentu, atau kromosom, dan yang sangat penting adalah bahwa inti sel jantan dan inti sel betina menyumbangkan kromosom dalam jumlah yang sama kepada telur yang dibuahi. Setelah pembelahan sel telur, setiap anggota dari satuan ganda kromosom ini nampak terbelah secara longitudinal dan dipilah ke dalam dua sel turunan (daughter cells) melalui suatu proses yang dinamakan mitosis. Melalui proses ini, setiap sel memperoleh kedua set ganda kromosom dari sel telur yang dibuahi. <br />
Analisis mikroskopik sel-sel ovarium dan testis binatang dewasa yang aktif membela tersingkap bahwa ada proses lain dari pemilahan kromosom. Pada sel-sel ini, jumlah kromosom per tubuh sel menjadi setengah, sehingga inti sel dari sel telur dan sel sperma mengandung satu set tunggal kromosom yang dimiliki oleh telur dan sperma dari bapak dan ibu. Proses-proses tersebut disebut meiosis.<br />
Wilhelm Roux (1880-an) berpendapat bahwa sangat sulit membayangkan jika mitosis dan meiosis hadir tanpa maksud yang baik. Proses meiosis dan mitosis ada karena kromosom adalah penyusun bahan hereditas, demikian argumentasinya. Tanpa sadar atas penemuan Mendel, ia mengajukan postulat bahwa unit-unit hereditas diatur secara linier dalam benang-benang kromosom.<br />
Pemikiran Roux’s langsung di sambar oleh August Weismann dan mengembangkannya ke dalam teori yang lebih sempurna mengenai hereditas dan perkembangan. Ia mengemukakan bahwa pada organisme multiseluler yang berbiak secara seksual, jumlah satuan-satuan hereditas diparuh pada saat pembentukan sel telur betina dan sperma atau tepungsari (sel-sel germ). Jumlah awal satuan-satuan hereditas kemudian dipulihkan saat penggabungan inti sel telur betina dan jantan dalam proses pembuahan yang menghasilkan individu baru. Bahan hereditas individu baru ini setengahnya berasal dari sang ibu dan setengahnya lagi dari sang ayah.<br />
Sayangnya Weissmann gegabah dengan mengatakan bahwa setiap kromosom dalam inti sel membawa semua informasi untuk memproduksi satu individu tunggal. Hal ini tidak sesuai kenyataan bahwa tanaman kapri memiliki 14 kromosom, dan tidak cocok dengan inferensi Mendel (yang saat itu belum diketahui) bahwa tanaman kapri memiliki dua, dan bukan empat belas, kopy dari setiap satuan hereditasnya. Teori Weissman menjadi sangat dikenal saat itu, dan mendorong studi-studi pemuliaan kuantitatif seperti yang telah dibuat Mendel 35 tahun sebelumnya.<br />
Salah satu pendukung utama Teori Weissman adalah Hugo de Vries. Walaupun de Vries menolak beberapa pandangan teori ini, ia melengkapinya dengan mengatakan bahwa setiap satuan-satuan hereditas yang dipostulatkan mengendalikan karakter tunggal, dan unit-unit ini dapat di kombinasikan dengan berbagai cara pada turunannya. Untuk menguji dugaan ini, dia melakukan percobaan seperti yang dilakukan oleh Mendel, dengan kesimpulan yang sama seperti yang diperoleh Mendel. Percobaan dan kesimpulan yang sama pada waktu yang hampir bersamaan (dua bulan dilaporkan lebih awal) juga dilakukan oleh Carl Correns (Januari 1900) <br />
Ditemukannya kembali tulisan-tulisan Mendel melahirkan kegemparan yang luar biasa di kalangan ilmuan karena hukum-hukum yang dideduksi dari percobaan-percobaannya kemudian dapat dipahami dalam pengertian perilaku kromosom dalam mitosis dan meiosis, yaitu bahwa setiap kromosom membawa hanya sebagian dari semua satuan hereditas yang penting untuk memproduksi individu sempurna, sehingga keseluruhan unit kromosom yang ada dalam sel germ mencakup hanya satu jiplakan (copy) dari setiap unit. Sel yang membawa unit kromosom tunggal ini disebut dalam keadaan haploid. Sehingga, individu yang berasal dari telur yang dibuahi mengandung sepasang satuan hereditas homologi, yaitu yang berasal dari bapak dan ibu. Sel yang membawa satuan kromosom ganda dikatakan dalam keadaan diploid.<br />
Di saat terjadi reduksi dalam meiosis dari dua kromosom dalam sel-sel diploid menjadi masing-masing unit tunggal, maka individu memberikan satu jiplakan tunggal dari setiap satuan hereditas ke sel-sel germ haploid yang dengannya ia memperanakan turunannya.<br />
Terjelaskannya faktor Mendel dalam perilaku mitosis dan meiosis melahirkan dorongan yang luar biasa untuk melakukan studi-studi genetika. Istilah-istilah baru kemudian muncul. Yang muncul pertama kali adalah disiplin itu sendiri diberi nama genetika (genetics), dan unit bawaan dasar Mendel disebut gen (gene). Dua gen homologi mewakili dua bentuk alternatif disebut allelomorf (allelomorphs) yang kemudian disingkat allela (alleles). Individu yang berkembang dari telur yang dibuahi disebut zigot (zygote), individu homozigot (homozygote) yaitu individu yang membawa sepasang allela identik, dan sebaliknya heterozigot (heterozygote) bagi individu yang membawa sepasang allela yang berbeda dari gen tertentu. Jumlah keseluruhan gen yang ada dalam satu individu, dengan kata lain seluruh kromosom disebut genom (genome).<br />
Di tahun 1901 de Vries mengajukan proposal bahwa alella-allela berbeda dari gen yang sama muncul melalui perubahan tidak kontinu dan sekonyong-konyong, suatu proses yang dinamainya mutasi (mutation). Dengan ide mutasi, berkembang selanjutnya mutasi gen sebagai sumber keragaman genetis. Konsep-konsep yang diturunkan dari hukum Mendel kemudian diperluas pada berbagai organisme yang lain.<br />
Impetus baru penelitian genetika diperoleh pada tahun 1910 sewaktu Thomas H. Morgan dan kelompoknya di Universitas Columbia melakukan penelitian genetika pada lalat buah anggur (vinegar fly; Drosophila) untuk menjawab satu dari persoalan genetis dan filosofis saat itu yaitu “apa yang menentukan sel telur yang telah dibuahi menjadi jantan atau betina?<br />
Melalui studi morfologi kromosom, Morgan dan kawan-kawan membuktikan bahwa terdapat perbedaan yang sangat nyata dalam perangkat kromosom jantan dan betina. Pada sel diploid betina terdapat 4 pasang kromosom homologi; pada sel diploid jantan hanya terdapat tiga pasang, dua kromosom sisanya nampaknya tidak sepadan, yang satu berukuran besar dan yang lain berukuran kecil. Kedua kromosom berbeda itu disebut X dan Y.<br />
Membandingkan dengan pasangan-pasangan yang ada pada betina, disimpulkan bahwa sang betina membawa dua kromosom X dan tidak memiliki kromosom Y. Dengan demikian, jika individu membawa sepasang kromosom XX maka individunya adalah betina, dan individu dengan kromosom XY adalah jantan. Baik kromosom X dan Y kemudian dinamai Kromosom Seks. Hal ini kemudian menjadi jelas bahwa seks diturunkan sesuai dengan gen-gen Mendelian yang sederhana dimana X/X homosigot adalah betina, dan X/Y heterosigot adalah jantan.<br />
Dengan demikian, semua telur haploid dari betina yang di hasilkan oleh meiosis membawa satu kromosom X, sebaliknya sperma haploid yang dihasilkan meiosis dalam testis jantan, setengahnya membawa kromosom X dan setengahnya lagi membawa kromosom Y. Dengan demikian, pembuahan sel telur oleh sperma pembawa kromosom X akan menghasilkan zigot betina, dan sebaliknya pembuahan sel telur oleh sperma pembawa kromosom Y akan menghasilkan zigot jantan.<br />
Impetus kedua berasal dari T.H Morgan dan kelompoknya. Mereka menemukan 85 bentuk mutan yang menyimpang dari tipe normal (wild type), seperti bentuk sayap, warna tubuh, warna mata, bentuk bristel, dan ukuran mata. Mutan-mutan tersebut disebabkan oleh mutasi spontan tunggal yang jarang.<br />
Tersedianya mutan-mutan tersebut di laboratorium memungkinkan percobaan kawin silang dirancang guna mendalami mekanisme pewarisan sifat. Hasil persilangan antara lalat bermutan dua gen (yang letaknya di dua kromosom yang berbeda) dengan lalat pembawa allela normal, meneguhkan temuan Mendel bahwa karakter resesif menghilang pada generasi pertama dan muncul kembali dalam rekombinasi acak di antara turunan kedua setelah kawin sendiri.<br />
Apabila kawin silang dilakukan untuk dua karakter yang berada pada kromosom yang sama, maka kedua allela tersebut cenderung muncul di antara rekombinasi turunan kedua dalam kombinasi yang sama. Temuan ini melahirkan pemahaman bahwa gen-gen yang berpaut demikian (linked genes) membentuk satu kesatuan struktur genetis, sehingga mereka harus bergerak bersama-sama dalam segregasi kromosom diploid selama meiosis.<br />
Namun demikian, walaupun kedua karakter itu terpaut dalam satu kromosom, beberapa rekombinasi juga berlangsung antara gen dalam kromosom yang sama. Dalam hal ini, pada turunan kedua terdapat lalat yang membawa pada kromosom yang sama satu gen yang allela-nya disuplai oleh induk yang satu dan gen yang lain allelanya disuplai oleh induk yang lain. Morgan menafsirkan hasil ini dalam pengertian terjadinya pindah silang (crossing over) kromosom-kromosom homologi.<br />
Basis sitogetika pindah silang sebelumnya telah ditunjukkan oleh F.A. Janssens dalam pembelahan sel meiosis. Pada tahapan tertentu dalam meiosis, setiap pasang kromosom homologi dari sel diploid membentuk penjajaran titik-demi-titik (point-by-point alignment) atau disebut juga sinapsis (synapsis). Dalam sinapsis terjadi pelukaan ditempat-tempat persentuhan antar dua kromosom homologi yang berpasangan, yang dilanjutkan dengan pertukaran potongan dari masing-masing kromosom yang berpasangan. Jadilah dua kromosom rekombinan.<br />
Dikarenakan probabilitas membuat suatu pelukaan dan penggabungan kembali bersifat tetap untuk setiap satuan panjang kromosom yang bersinapsis maka semakin dekat jarak antara dua gen pada kromosom yang sama semakin kecil kemungkinan kejadian pindah-silang antara keduanya, sehingga semakin kecil rekombinasi antara alela-alelanya. Hal ini memungkinkan dilakukannya pembuatan peta posisi gen mutan pada kromosom lalat buah.<br />
Dengan melakukan perhitungan frekuensi segregasi gen-gen yang berpaut di antara turunannya (offspring) dari sejumlah besar mutan, Morgan dan kawan-kawan dapat membangun peta genetika gen-gen mutan pada ke empat kromosom Drosophila.<br />
Penemuan-penemuan T. H Morgan dan para ahli genetika lain memantapkan pemahaman gen sebagi suatu faktor yang berlokasi dalam tempat tertentu dalam kromosom, yang kemudian menjadi dasar-dasar penting dari apa yang disebut dengan genetika klasik. Namun demikian, dalam genetika klasik, gen masih dipahami sebagai suatu konsep yang abstrak dan tidak dapat dipecah-pecah menjadi serpihan-serpihan material. Pemahaman gen sebagai sesuatu yang bersarang dalam struktur-struktur materi dikenal kemudian setelah penelitian mengenai perilaku kromosom dan penelitian mutasi dikembangkan. <br />
Mengomentari pemahaman saat itu tentang teori genetika H. J. Muller, seorang ahli genetika terkenal dan penerima hadial Nobel, dalam pesta mengenang 50 tahun ditemukannya kembali hasil kerja Mendel mengatakan: “Inti riil teori genetika masih nampak berada pada ketidaktahuan yang dalam. Yaitu bahwa kita masih belum memiliki pengetahuan yang aktual dari mekanisme dibalik sifat-sifat unik yang membuat suatu gen adalah gen –yaitu kemampuannya menyebabkan sintesis struktur yang lain seperti dirinya sendiri, dimana bentuk mutasinyapun ikut di-copy.subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-2779974090513353111.post-65047061368276622062011-05-10T05:28:00.000-07:002011-05-10T05:28:01.877-07:00RUMUS LENGKAP BANGUN RUANGRumus Kubus<br />
- Volume : Sisi pertama dikali sisi kedua dikali sisi ketiga (S pangkat 3) <br />
<div style="text-align: justify;">Rumus Balok<br />
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi (p x l x t)</div><div style="text-align: justify;">Rumus Bola<br />
- Volume : phi dikali jari-jari dikali tinggi pangkat tiga kali 4/3 (4/3 x phi x r x t x t x t)<br />
- Luas : phi dikali jari-jari kuadrat dikali empat (4 x phi x r x r)</div><span id="more-1601"></span><br />
<div style="text-align: justify;">Rumus Limas Segi Empat<br />
- Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi dibagi tiga (p x l x t x 1/3)<br />
- Luas : ((p + l) t) + (p x l)</div><div style="text-align: justify;">Rumus Tabung<br />
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi (phi x r2 x t)<br />
- Luas : (phi x r x 2) x (t x r)</div><div style="text-align: justify;">Rumus Kerucut<br />
- Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi dibagi tiga (phi x r2 x t x 1/3)<br />
- Luas : (phi x r) x (S x r)<br />
- S : Sisi miring kerucut dari alas ke puncak (bukan tingi)</div>subhanhttp://www.blogger.com/profile/11881672577740620162noreply@blogger.com0